Metodos Numericos Unidad 2

2.1 Métodos de iteración: gráficos, bisección, y falsa posición

Aproximación Grafica

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f x = (0), consiste en graficar la función y observar en donde cruza al eje x. Este punto representa el valor de x para el cual f x = (0) proporciona una aproximación de la raíz de la función f (x).

Ejemplo:

Usando la aproximación gráfica para obtener el coeficiente de razonamiento c, necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de 10 s, donde la función que representa este echo esta dada por:

Método de Bisección

Este método consiste en encerrar una raíz entre un intervalo en el cuál la función debe cruzar al eje horizontal, e ir dividiendo el intervalo a la mitad hasta encontrar la mejor aproximación.

Método de Falsa Posición

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo de a en mitades, no se considera la magnitud de y . Por ejemplo, si esta mas cercano a 0 que es lógico pensar que la raíz se encuentra más cerca de que de . El método de falsa posición aprovecha la visualización gráfica de unir y con una recta, donde la intersección de esta recta con el eje x representa una mejor estimación a la raíz.

2.2 Métodos abiertos: iteración punto fijo, método de newton-raphson, y método de la secante, método para raíces simples.

Iteración de punto fijo

Otro método que podemos utilizar y que puede englobar a los demás métodos se denomina iteración de punto fijo. Este método se obtiene directamente del problema original es decir:

De esta ecuación lo que puede intentarse para resolverla es despejar x, pero como ya sabemos, esto puede ser imposible para ciertas funciones. El método de iteración de punto fijo, sigue esta idea, pero como no es posible despejar x, al menos lo que se hace es poner x en función de si misma, es decir:

Esto se logra despejando x reacomodando la ecuación original. Para resolver la ecuación se comienza con un valor inicial evaluando la función g(x) para hallar otro valor de x.

La x obtenida de esta manera, se usa para generar otra x, evaluándola en la función g(x). Se repite el procedimiento nuevamente hasta que se cumpla algún criterio de convergencia.

Por lo anterior la ecuación (3) define el método es:

Método de Newton-Raphson

Los métodos de Bisección y Falsa posición son llamados métodos por intervalos en los cuales los valores iniciales deben encerrar a la raíz deseada. Los métodos siguientes son llamados métodos de intervalo abierto dado que las condiciones iniciales no necesariamente tienen que contener a la raíz.

Si el valor inicial de la raíz es , entonces se puede trazar una tangente del punto ; el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación dela raíz.

Si la pendiente en un punto dado le llamamos primera derivada de la función y la pendiente de una recta es podemos tener que:

Despejando tenemos la ecuación de Newton-Raphson

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