Reprensentacion De Taylor

*Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La suma de una serie de potencias es una función ∑_(n=0)^∞▒〖a_n (x-c)^(n ) 〗cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Sería deseable poder derivar e integrar este tipo de funciones, el teorema siguiente dice que ello puede llegar a cabo derivando o integrando cada termino individual de la serie tal como la que se hace con un polinomio. A esto se le llama derivación e integración término a término. La demostración del teorema es expresada y por lo tanto se omite.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

f(x)=f(a)+(f´(a))/1! (x-a)+(f´´(a))/2!(x-a)^2+(f^((3) ) (a))/3!(x-a)^3+⋯

que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-exima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de la serie de Taylor.

Encontrar la serie de Taylor de la función f(x)=e^x en 0 y 1 y los radios de congenia asociados.

Solución si f(x)=e^x, entonces f^n (x)=e^x, de modo que f^n (0)=e=1 para todo n. por lo tanto la serie de Taylor de f en 0 (esto es la serie de Maclaurin) es

e^x=∑_(n=0)^∞▒〖(f^n (0))/n! x^n=∑_(n=0)^∞▒〖x^n/n!=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+⋯〗〗

Para encontrar el radio de convergencia hacemos u_n=x^n/n!. Entonces

|(u_n+1)/u_n |=|x^(n+1)/(n+1)!*n!/x^n |=|x|/(n+1)→0<1

Por lo consiguiente, por el criterio de la razón, la serie converge para todo x y el radio de convergencia es R=∞

Se ha probado que si e^xtiene un desarrollo en serie de potencias en 0, entonces

e^x=∑_(n=0)^∞▒x^n/n! Para todo número real x

En particular cundo se sustituye X=1 en la ecuación anterior, se obtiene la sig. Expresión del número e como suma de una serie infinita:

e=∑_(n=0)^∞▒〖1/n!=1+1/1!+1/2!+1/3!+⋯〗

Para poder encontrar la serie Taylor de f(x)=e^xen 1 se observa que f^((n) ) (1)=e^1=e y entonces, sustituyendo e=1 en la ecuación

f(x)=∑_(n=0)^∞▒〖(f^((n) ) (c))/n!(x-c)^n 〗

Se tiene e^x=∑_(n=0)^x▒〖(f^((n) ) (1))/n!(x-1)^n=∑_(n=0)^∞▒〖e/n!(x-1)^n 〗〗

Se puede verificar de nuevo que el radio de convergencia

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