UNIDAD 3 CALCULO

3.1 Áreas.

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema

Geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con

aspecto curvo. De hecho, vamos a mostrar, como poder hallar áreas haciendo

uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que

existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no

poligonal

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región

limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene

dada por:

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x = a y x = b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver cómo se puede aplicar la definición.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas f(x) = 4 y x =−3 y x = 2.

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

A= ∫_(-3)^2▒4dx

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u2.

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva

SOLUCIÓN:

TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la figura anterior, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (sombreada) viene dada por:

EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de 675/2 u^2

Área entre las gráficas de funciones.

Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas. Más bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g. Por un momento observemos las siguientes gráficas, conservando las mismas condiciones de las definiciones anteriores: (dos funciones continuas en un intervalo cerrado, etc.) Aquí, para la primera gráfica, a y b son los puntos de corte de f (x) y g(x). En la segunda gráfica, c y d son los puntos de corte de f (y) y g(y). Ahora planteamos las definiciones correspondientes que sugieren las graficas:

Definición 1: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [b,a] con, f(x) > g(y), el área de la región R está dada por:

Definición 2: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [d,c] con f(y)>g(y), el área de la región R está dada por:

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región determinada por las curvas

SOLUCIÓN: En primera medida trazamos la región correspondiente:

Ahora tenemos que encontrar los límites de integración, pero en la gráfica podemos decir que esos límites lo determinan los puntos de intersección de f y g. Como dijimos anteriormente, estos se hallan de la siguiente forma:

Luego x=0, 2, –2 son los puntos de corte de ambas funciones. Después de esto, podemos establecer la integral que nos permitirá hallar el área de la región pedida:

Luego el área de la región es

Longitud de curvas.

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f^' (x)

que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t) la longitud del arco desde el punto(f(a),g(a)) hasta el punto (f(b),g(b)) se calcula mediante:

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante r=f(∅)la longitud del arco comprendido en el

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