APLICACION DE BLACK SCHOLES

En 1973, Robert C. Merton publicó "Theory of Rational Option Pricing", en él hacía referencia a un modelo matemático desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes.

A este modelo lo denominó Black-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura. Posteriormente el modelo se amplió para opciones sobre acciones que producen dividendos, y luego se adoptó para opciones europeas, americanas, y mercado monetario.

El modelo concluye que:

C = S N(d_i) - Ke^{-rdT}N(d_z) \,

P = K e^{-rdT}N(-d_z) - S N(-d_i) \,

Donde:

d_i = \frac{\ln(S/K) + (rd -re + \sigma^2/2) T}{\sigma\sqrt{T}}

d_z = d_i - \sigma\sqrt{T}.

Definiendo:

C es el valor de una opción de compra, opción europea.

P es el valor de una opción de venta, opción europea.

S es la tasa a la vista de la moneda que constituye el objeto de la opción.

K es el precio marcado en la opción (Strike price).

T es el tiempo expresado en años que aun faltan por transcurrir en l

RESUMEN

Este artículo tiene como propósito hacer una presentación, sin excesivos formalismos matemáticos, pero con fidelidad histórica y suficiente profundidad conceptual, de un modelo de valoración de derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, conocido en el ámbito financiero como el modelo de Black-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelos matemáticos más influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mundial. Se pretende también hacer una divulgación de ese modelo, que acaba de cumplir 30 exitosos años de vida, como un homenaje a sus autores.

Palabras clave:

Derivado Financiero, Proceso estocástico, Proceso Wiener, Proceso Itô, Modelo de Black Scholes Merton.

INTRODUCCIÓN

Un derivado financiero es un contrato, cuyo valor es función -se deriva- del precio de otro objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de referencia o un índice, tales como una acción, una divisa o un producto físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el precio, es llamado activo subyacente.

Aunque actualmente se utiliza en el mundo una amplísima gama de derivados financieros y múltiples combinaciones entre ellos, los derivados básicos, y más conocidos, siguen siendo las opciones, los forwards, los futuros y los swaps. Por ejemplo, si se tiene una opción sobre una acción, la opción es el derivado financiero, y el activo subyacente es la acción.

Los llamados productos derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos, pero, dependiendo de la intención que se tenga al utilizarlos, los agentes u operadores que intervienen en su uso siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes categorías: coberturistas, especuladores o arbitrajistas.

El objetivo de un coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable. Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de la dirección futura de los mercados y tratar de obtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o más activos o derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.

ORIGENES DEL MODELO

Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier (1768-1830). Fourier publicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual de la Academia de Ciencias, había presentado el primer trabajo relativo al tema de la conducción del calor. Ilustres matemáticos puros de la época, tales como Laplace, Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, ya que por su condición de físico-matemático, los procedimientos de Fourier eran más empíricos que lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su investigación, hasta que su persistencia y la relevancia de su teoría lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de París en 1812.

En 1827 el botánico inglés Robert Brown, analizó el movimiento de partículas de polen en el agua, y lo asoció a las teorías vitalistas de la vida, argumentando que ese movimiento era propio de la materia viviente, y relacionado con los mecanismos de la reproducción. Sin embargo, en sus trabajos finales, concluye que el movimiento errático observado era de naturaleza mecánica y no dependía del carácter orgánico ni inorgánico de los objetos considerados.

En 1905, casi un siglo después, Albert Einstein construyó un modelo matemático para explicar ese fenómeno, y lo denomina "movimiento Browniano" en honor a su descubridor.

Las hipótesis básicas de ese modelo de Einstein eran que el desplazamiento de la partícula entre dos instantes es independiente de las posiciones anteriores que haya tenido, y que la ley de probabilidad que rige el movimiento de la partícula sólo depende de distancia temporal. Con estas hipótesis, Einstein llegó a demostrar que la función de distribución f de la posición de la partícula

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