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TEORÍA DE CONJUNTOS

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

Ø : el conjunto vacío, que carece de elementos.

N: el conjunto de los números naturales.

Z: el conjunto de los números enteros.

Q : el conjunto de los números racionales.

R: el conjunto de los números reales.

C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A = {1,2,3, ... ,n}

B = {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A).

Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.

Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.

Diferencia es A – B = {x | x  A  x  B}

Diferencia simétrica es A  B = (A – B)  (B – A)

Si se tiene un conjunto A y otro conjunto U tal que A  U, definimos el complemento de A con respecto a U como: A ̅=U-A, donde a U se le conoce como el universo relativo.

Para el conjunto A, se define el conjunto potencia o de partes de A, que denotamos P(A), como el conjunto formado por todos los subconjuntos

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