Teoria De Conjuntos

Teora de Conjuntos

Lic. Dennis A. Redtwitz

FaCEN - UNA

Indice general

1. Teora Elemental de Conjuntos 5

1.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Conjuntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Conjunto vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Operaciones unitarias y binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4. Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5. Diferencia simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.6. Conjunto de Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Operaciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. Interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2. Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Relaciones 31

2.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1. Denicion conjuntista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2. Representacion graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. Denicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1. Denicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2. Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.3. Cotas inferiores y elementos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.4. Cotas superiores y elementos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.5. Inmos y supremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.6. Buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

3. Funciones 53

3.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1. Denicion conjuntista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.2. Representacion graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Imagenes y preimagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1. Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2. Preimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Clasicacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1. Inyectividad . . .

...