Teoria De Conjunto

ÍNDICE

Pág.N°

1. Índice ------------------------------------------------------------------------------- 2

2. Introducción ----------------------------------------------------------------------- 3

3. Desarrollo ------------------------------------------------------------------------ 4-15

4. Conclusión ------------------------------------------------------------------------ 16

5. Bibliografía ----------------------------------------------------------------------- 17

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de algunas teorías matemáticas.

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Características del conjunto:

1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa.

2.- No se repite; que sea diferente.

3.- Cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto

4.- se representa con letra mayúscula.

Operaciones entre conjuntos:

Intuitivamente un álgebra es una estructura en donde ciertos objetos de un conjunto base se combinan por medio de distintas operaciones para formar elementos del mismo conjunto base. Tome, por ejemplo, la estructura de los números naturales. El conjunto base es en este caso el conjunto de los números naturales, y hay varias operaciones, como por ejemplo la suma. Si operamos mediante la suma al 2 y al 3, obtendremos el número 2+3=5

Unión: La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

x Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

A + B = {x / x Î A Ú x Î B }

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.

Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A • B y se lee "A intersección B".

En consecuencia,

x Î A• B Û x Î A Ù x Î B.

El conjunto A• B está dado por:

A• B = { x / x Î A Ù x Î B }.

Gráficamente, una representación de A• B es:

La región rayada corresponde a A• B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.

Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.

En consecuencia,

x Î A' Û x Î 1 Ù x Ï A.

Gráficamente, su representación está dada por:

Diferencia de conjuntos: es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, especifican cuales elementos de uno de los conjuntos no están en el otro formando un nuevo conjunto llamado diferencia.

Será posible establecer dos conjuntos diferencia, cuando se operan dos conjuntos cualesquiera.

Simbología

...