La Teoría de Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS

Introducción al concepto de Teoría de Conjuntos.

La Teoría de Conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal. En el año 1874 apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

Otros autores dicen que la teoría de conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

 Si X no tiene elementos, entonces X es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

 Si X es un conjunto, entonces X es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

 Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.

Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

Teoría De Conjuntos Axiomáticas

Existen varias axiomáticas para conjuntos.

A continuación, se expone la axiomática de Zermelo-Fraenkel:

1. Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienen los mismos elementos.

2. Existe un conjunto sin elementos (conjunto vacío).

3. Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.

4. La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.

5. Existe un conjunto A, del cual el conjunto vacío es elemento, y que es tal que si a pertenece a A, la reunión de a y de {a} pertenece a A (implica la existencia de conjuntos infinitos).

6. Para toda relación R de la teoría y para todo conjunto A existe un conjunto B, que tiene por elementos los elementos de A que satisfacen a R.

7. Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.

8. El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de elección).

9. Ningún conjunto es elemento de sí mismo.

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a  A.

Ejemplos de conjuntos:

: el conjunto vacío, que carece de elementos.

N: el conjunto de los números naturales.

Z: el conjunto de los números enteros.

Q: el conjunto de los números racionales.

R: el conjunto de los números reales.

C: el conjunto de los números complejos.

Importante: Recordemos siempre que un conjunto se representa utilizando letras mayúsculas (A, B, C,...) y que suelen denotar encerrados entre llaves.

Formas de determinar un conjunto.

1. Método de enumeración, Tabular o EXTENSIÓN.

Es cuando el conjunto es determinado mediante una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a esos elementos.

Ejemplos:

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o ,n , j, u, t, s }

D = {A, B, E, C, D, R, I, O}

2. Método de caracterización o COMPRENSIÓN.

Consiste en determinar los elementos de un conjunto exigiéndoles que verifiquen una ó más propiedades para todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A = { x l x es número entero}

B = { x I x es un número par menor que 10}

C = { x I x es una letra de la palabra conjuntos}

D = {x I x es una mujer de nacionalidad uruguaya}

E = {x I x es color básico}

A continuación en la siguiente tabla podremos comparar los dos métodos anteriores.

POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN

A = { a, e, i, o, u } A = { x I x es una vocal}

B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x I x es un número par menor que 10 }

C = {1, 3, 5, 7, 9 } C = { x I x es un número impar menor que 10 }

D = { c, o, n, j, u, t, s} D = { x I x es una letra de la palabra conjuntos }

E = { b, c, d, f, g, h, j, .. . } E = { x I x es una Consonante }

F = { Laura, Javier } F = {x I x es médico y esta en la clase}

G = {mercurio} G = {x I x es un metal líquido }

3. Método GRÁFICO.

Diagramas De Venn / Carroll

Los conjuntos suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

Algunas Indicaciones

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a  S o a  S (esto es, a no pertenece a S).

Un conjunto se representa frecuentemente con el símbolo S = { }, en donde las llaves engloban los elementos de S, ya sea de forma explícita,

...