CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

d(X, O) = r, es decir:

[pic 1]

                                           (x - a)2 + (y - b)2 = r2                                 

Desarrollando los cuadrados se tiene:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:

                                      x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

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 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

[pic 2]

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

                    [pic 3]

                                Þ x2  - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9

                                     x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0

‚ Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al

punto (-2, 3).

Resolución:

[pic 4]

Así la ecuación es:

[pic 5]

x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13

x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

ƒ Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

Resolución:

· El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

                                  [pic 6]

· La ecuación es:

                                   [pic 7]

                                 x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5

                                5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0

„ ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?

Resolución:

La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

           [pic 8]

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

                                    [pic 9]

Así, la ecuación pedida es:

[pic 10]

Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector

-x0 [pic 11]1 - y0 [pic 12]2 y obtener una elipse centrada en el origen.

Entonces el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x0, y - y0). Por tanto, su ecuación es:

...