Circunferencia

5. LA CIRCUNFENRENCIA

Introducción

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente:

C (C; r) = {P tal que = r}

..

5.1. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .

Entonces:

Es decir,

Por lo tanto:

(1)

fig. 5.1.

Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.

Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2.

La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que:

32 + 42 = 25

De (1) se deduce que:

Lo que muestra que:

para todo x Î [-5, 5], el punto

está en la semicircunferencia superior y que

para todo x Î [-5, 5], el punto

está en la semicircunferencia inferior.

fig. 5.2.

....

5.2. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA CIRCUNFERENCIA.

La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2)

Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y.

Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero).

La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2).

En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7

Supóngase ahora que en la ecuación (2), B = 0, A = C 0.

Luego de dividir por A, (2) toma la forma:

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde

Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene:

(x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f

ó (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 – f (4)

En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos:

Si d2 + e2 – f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir

(x + d)2 + (y + e)2 = r2 Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio

Cuando d2 + e2 – f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C(-d, -e).

Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto del plano que satisface (2) es el punto C(-d, -e).

Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)ÎR2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}= f

....

5.3. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES

Considere de nuevo la ecuación: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3)

Según se ha establecido, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación anterior representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio

Si se regresa a (4) se observa que para poder tener determinada la circunferencia se necesita determinar los valores de tres parámetros: d, e y f.

El ejemplo 1. de la sección 5.5. muestra como encontrarlos dando tres condiciones que debe cumplir la curva que se pide.

..

..

5.4. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA.

5.4.1. Recta tangente a una circunferencia y de pendiente conocida.

Considere la circunferencia C(o; r) : x2 + y2 = r2 (1) y la familia de rectas de pendiente m dada: y = mx + b, b ÎR . (2).

Si se quieren encontrar los puntos comunes de la circunferencia y una recta y = mx + b de la familia se resuelven simultáneamente (1) y (2) .

Llevando (2) a (1) se obtiene:

x2 + (mx + b)2 = r2

x2 + m2x2 + 2mbx + b2 = r2

Por tanto, (1 + m2) x2 + 2mbx + (b2 - r2) = 0 (3)

Las raices de (3) son las abscisas de los puntos donde la recta y = mx + b corta a la circunferencia x2 + y2 = r2.

Para precisar mas, mirese el discriminante D de (3).

D =

=

= 2

La condición para que la recta y = mx + b de la familia corte a la circunferencia es que:

r2 (1 + m2) – b2 > 0, o que b2 < r2 (1 + m2)

En este caso la ecuación (3) tiene dos raices reales que corresponden a las abscisas de los dos puntos donde y = mx + b (con b2 < r2 (1 + m2)) corta a la circunferencia.

Si r2 (1 + m2) – b2 < 0, osea, si r2 (1 + m2) < b2, la ecuación (3) tiene raices imaginarias lo cual quiere decir que toda recta de ecuación y = mx + b con r2 (1 + m2) <

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