Circunferencia

UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un punto O en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O; r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del plano , tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, por ejemplo: , , , , y .

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia, por ejemplo: , .

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, por ejemplo: .

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, por ejemplo: .

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: . Si son extremos de un diámetro, los arcos se llaman semicircunferencias, por ejemplo: y .

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios son congruentes; todos los diámetros son congruentes; el diámetro es el doble del radio y el diámetro es la mayor cuerda.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.

2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.

3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado un punto P en su plano, entonces los extremos del diámetro , contenido en la recta , son los puntos de la circunferencia que están a la menor y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia entre P y el extremo de dicho diámetro que esté más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: (L.G. ra)

Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r), el lugar geométrico de los puntos situados a una distancia a de la C(O; r) está formado por las circunferencias C(O; r  a).

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO DADO

TEOREMA: Por un punto dado A pasan infinitas circunferencias.

Para cada real positivo r, el lugar geométrico de los centros de éstas es la C(A; r).

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS DADOS

TEOREMA: Por dos puntos dados A y B, pasan infinitas circunferencias.

El lugar geométrico de los centros de éstas es la mediatriz del segmento AB y el radio mínimo es AB/2.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia no pueden ser colineales. Intuitivamente “la circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no alineados, pasa una y sólo una circunferencia que tiene por centro el circuncentro del ABC.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia si no tiene puntos comunes con ella.

2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia si tiene exactamente un punto común con ella, llamado punto de tangencia.

3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.

TEOREMA: Dadas una recta y una circunferencia de radio r, si d es la distancia del centro a la recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo si d < r.

2. La recta es tangente a la circunferencia si y sólo si d = r.

3. La recta es exterior a la circunferencia si y sólo si d > r.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son :

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos comunes.

4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es tangente interior a la segunda.

5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y todo los puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es interior a la segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas tienen un punto común exterior a la recta de los centros entonces son secantes y recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes entonces la línea de sus centros es la mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes entonces los centros y su punto de tangencia son colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores  OO’ > r + r’

2. Tangentes exteriores  OO’ = r + r’

3. Secantes   r  r ’< OO’ < r + r’

4. Tangentes interiores  OO’ = r  r’

5. Interiores  OO’ <  r  r ’

ARCOS Y CUERDAS

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