CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA

Definición

Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de

radio.

Ecuación de la circunferencia

A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el

origen de coordenadas y radio R.

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:

d(P,O) x y R

2 2

= + =

Elevando al cuadrado se obtiene

2 2 2

x + y = R

que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.

Te proponemos que deduzcas la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el punto de

coordenadas C(a, b) y radio R.

Elementos distintivos de la circunferencia

Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.

Gráfica de la circunferencia

Ejemplo 1:

Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en el punto C(2, – 3) y radio 5. Grafica.

Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto C(2, – 3), por lo

tanto debe verificarse que:

d(P, C) = (x 2) (y ( 3)) (x 2) (y 3) 5

2 2 2 2

− + − − = − + + =

Elevando al cuadrado se tiene:

(x – 2)2

+ (y + 3)2

= 25 Ejemplo 2:

Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en C(1, – 6), sabiendo que el punto P(2, 3)

pertenece a la gráfica de la circunferencia.

Si el punto P está en la gráfica podemos usar este dato para hallar el radio de la circunferencia pues

R = d(P, C) = (2 1) (3 ( 6)) 1 81 82 2 2

− + − − = + =

Por lo tanto la ecuación queda escrita: (x 1) (y 6) 82 2 2

− + + =

Los elementos de esta circunferencia son el centro C(1, – 6) y el radio r = 82

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

EXTERIOR

SECANTE TANGENTE

ELIPSE

Si buscamos ejemplos de elipses basta con pensar en las órbitas de planetas como la Tierra donde

un foco corresponde al Sol.

Definición

Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre P y dos

puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se

denomina centro.

Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un

trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando

una elipse, como se muestra en la siguiente figura.

F’ F

P Ecuación de la elipse

Vamos a deducir a partir de la definición, la ecuación de una elipse cuyos focos pertenecen a uno de

los ejes coordenados, digamos por ejemplo que están en el eje x, y centro en el origen de

coordenadas. Así los focos serán los puntos F’(– c, 0) y F(c, 0) y para los puntos P(x, y) que

pertenezcan a la gráfica de la elipse debe verificarse que

d(P, F’) + d(P, F) = k = 2a

o lo que es lo mismo

2 2 2 2 2 2 2 2

(x +c) + y + (x −c) + y = 2a ⇔ (x +c) + y = 2a − (x −c) + y

elevamos al cuadrado ambos miembros y simplificamos y obtenemos

a (x c) y a cx

4a (x c) y 4a 4xc

4a (x c) y 4a x 2xc c x 2xc c

4a (x c) y 4a (x c) (x c)

(x c) y 4a 4a (x c) y (x c) y

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

− + = −

− + = −

− + = + − + − − −

− + = + − − +

+ + = − − + + − +

si elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos

[ ]

x (a c ) a y a (a c ) (*)

x (a c ) a y a a c

a x 2a cx a c a y c x a 2a cx

a (x c) a y a 2a cx c x

a (x c) y a 2a cx c x

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 4 2 2 2

− + = −

− + = −

− + + − = −

− + = − +

− + = − +

mirando en la figura anterior el triángulo F’PF y recordando que la suma de las longitudes de dos

lados es mayor que la medida del tercer lado se tiene

d(P, F’) + d(P, F) = 2a > 2c y por lo tanto a > c > 0 , de donde se deduce que a2

– c

2

> 0

teniendo en cuenta esto podemos dividir ambos miembros de la igualdad (*) por a2

(a2

– c

2

) y

obtenemos

x y

+ 1

a a c

2 2

2

2

2

=

−

tomando 2 2

b = a −c la ecuación anterior queda escrita 1

b

y

a

x

2

2

2

2

+ = , llamada ecuación canónica

o normal de la elipse.

Elementos distintivos de una elipse

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une

los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda

perpendicular al eje mayor se denomina eje menor.Gráfica de la elipse

Hagamos ahora la gráfica en un sistema de ejes coordenados, suponiendo que el centro de la elipse

es el origen de tal sistema.

Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuación canónica cuando los focos están sobre el

eje y, y el centro es el origen de coordenadas.

Se define excentricidad de la elipse como el cociente entre c y a, es decir,

a

c

e

...