Caso practico unidad 3 matematicas aplicadas

Caso Practico

Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q. Cada unidad de producto requiere las cantidades que indica la siguiente tabla

La empresa dispone de un stock de 41 unidades de P y 45 unidades de Q.

a) Demostrar que los vectores (2,1) y (3,5) forman una base de R2

b) Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41,45) forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,5) y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.

• Primero verificamos su dependencia lineal de los vectores, (2,1) y (3,5)

2 3

1 5 = 2*5 - 3*1 = 7 ≠ 0

Los vectores son linealmente independientes, por lo tanto, son una base.

• Las coordenadas de (41,45) en dicha base son los escalares (λ, β) que cumplen:

A = (2,1) y B= (3,5)

(41,45) = 41 Stock P

45 Stock Q

(41,45) = λ (2,1) + β (3,5)

E1: 41 = 2λ + 3β

E2: 45 = λ + 5β

o Las soluciono por método de reducción, 2E2 – E1

90 = 2λ + 10β

- 41 = -2λ - 3β

49 = 7 β

49 = β

7

7 = β

o Reemplazo β en E2:

45 = λ + 5 (7)

45 - 35 = λ

10 = λ

o Reemplazo los valores de ℷ y β en E1y E2, para comprobar que sean los correctos

41= 2λ + 3β 45 = λ + 5β

41= 2(10) + 3(7) 45 = 10 + 5(7)

41= 20 + 21 45 = 10 + 35

41= 41 45 = 45

Por lo tanto, podemos decir que, con su stock, la empresa puede fabricar 10 unidades de A y 7 unidades de B, esta es la única

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