Cuantificadores

¿QUÉ SON LOS CUANTIFICADORES?

Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si consideramos la función proposicional:

P(x): x es mayor que 0,

Podemos particularizar esto diciendo: Existe un Número real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendo: Todos los números reales son mayores que 0.

Notemos que tanto en la particularización como en la generalización se especifica un conjunto en donde toma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los números reales.

Existe una notación específica para la particularización y la generalización:

∃x ∈ R | x > 0,

Que se lee existe un x ∈ R tal que x es mayor que 0; mientras que

∀x ∈ R, x > 0

Se lee para todo x ∈ R se cumple que x es mayor que 0.

El símbolo ∀ se llama cuantificador universal y el símbolo ∃ es el cuantificador existencial.

Como ya lo hemos afirmado, un cuantificador transforma una función proposicional en una proposición, a la cual se le asigna un valor de verdad.

CLASES DE CUANTIFICADORES

• CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…)

Se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

• CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (existe al menos un…)

Se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

• CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…)

Se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

¬ (∀x ∈ A) p(x) ≡ (∃x ∈ A) ¬ p(x)

¬ (∃x ∈ A) p(x) ≡ (∀x ∈ A) ¬ p(x)

Ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}.Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes

a) (∃x ∈ A) (x+3 =10)

Sol: Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10

b) (∀x ∈ A) (x+3<10)

Sol: Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3<10

NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

La negación de una proposición simple se obtiene anteponiendo la palabra no es cierto que. Al negar una proposición se cambia el valor de verdad observa:

Nota: el símbolo de negación es ~, ¬

Ejemplo: negar las siguiente proposición Simón Bolívar es el libertador y elaborar su tabla de verdad.

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