Cuantificadores

Cuantificadores lógicos

Un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguiente tabla:

Nombre Notación Se lee

cuantificador universal Para todo x...

cuantificador existencial Existe por lo menos un x...

² Los cuantificadores:

- Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo del discurso.

- Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo del discurso.

Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:

El cuantificador universal; " indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:

" X . . . .

Establece que "para todo X, es verdad que . . . "

El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que "existe un X, tal que . . . "

A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:

" X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

" Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

Desde el punto vista de representación, los cuantificadores son difíciles de usar. Por lo que es deseable reemplazarlos con alguna representación equivalente, más fácil de manipular. El caso del cuantificador universal es más simple ya que se asume a todas las variables como universalmente cuantificadas.

El cuantificador existencial es más difícil de reemplazar. El cuantificador existencial garantiza la existencia de uno o más valores particulares (instancias) de la variable cuantificada, que hace a la cláusula verdadera. Si se asume que existe una función capaz de determinar los valores de la variable que hace la cláusula verdadera, entonces simplemente se remueve el cuantificador existencial y se reemplaza las variables por la función que retorna dichos valores. Para la resolución de problemas reales, esta función, llamada función de Skolem, debe ser conocida y definida.

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

. (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe

. (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición

LÓGICA DE PREDICADOS

El lenguaje es el instrumento que se usa para la comunicación entre humanos. El lenguaje está formado por frases, entre ellas podemos distinguir: frases imperativas, frases interrogativas y frases declarativas.

La definición de lógica, disciplina que estudia métodos de formalización del conocimiento humano "de los métodos de formalización de frases declarativas".(Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

La lógica se clasifica:

•Lógica proposicional o lógica de enunciados:

Se parte de un elemento simple, las frases declarativas simples, las cuales tienen significado ellas mismas o la unión entre ellas,forman una frase. Esto inicia una unidad de comunicación de conocimientos, las cuales se les denomina proposiciones, y toman el valor verdadero o falso.

•Lógica de predicados: Estudia las frases declarativas,teniendo en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Los objetos y las relaciones entre los objetos serán los elementos básicos. Podemos distinguir:

- "Qué se afirma: relación

- De quién se afirma: objeto" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

Lógica de Predicados (LP de Orden Cero).

Con la lógica de predicados intentamos conseguir sistemas de demostración automática de teoremas. Partimos de elementos básicos como las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por sí solos una unidad de comunicación de conocimientos y pueden ser considerados Verdaderos y Falsos. La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomarán como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos. Se distingue:

• "Qué se afirma (predicado o relación)

• De quién se afirma (objeto)" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

Definimos a continuación las reglas sintácticas para construir fórmulas:

Definición 1:El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:

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