Interes Compuesto

El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Cálculo del interés compuesto

Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

donde:

es el capital al final del enésimo período

es el capital inicial

es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea , así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.

Obtención de los elementos de la fórmula de interés compuesto

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obtiéndose:

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

,

La diferencia esencial entre la capitalización compuesta y la simple reside en la acumulación o no de los intereses para producir con ellos nuevos intereses. En la práctica habitual se empleará la Capitalización Simple para operaciones a “corto plazo” (menores o iguales a un año) y la Compuesta en operaciones a “largo” o cuya duración exceda del año.

Definición Capitalización Compuesta

Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.

Seguiría el siguiente esquema:

Capital al final de un periodo: Capital al inicio + Intereses generados en ese periodo

Recibe el nombre de Capitalización compuesta la operación de prestación múltiple y contraprestación única con vencimiento posterior. La operación de constitución tiene por objeto la formación o constitución de un capital mediante la realización de un plan de ahorro de un plan de inversión.

Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta:

C0 = Capital inicial

n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación.

i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo.

I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período.

Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

Cálculo del Capital final

a. Operación de constitución de prestación y contraprestación única.

El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo de vida de la operación financiera.

Es decir, estamos calculando el capital final Cn, sobre un capital inicial C0 a un tipo de interés anual "i" para "n" períodos.

• Capital al final del primer año: C1 = C0 + ( C0• i ) = C0 ( 1 + i )

• Capital al final del segundo año: C2 = C1 + (C1• i ) = C1•( 1+i ) = C0•( 1+i )•(1+i ) = C0•( 1+i)2

• Capital al final del tercer año: C3 = C2 + (C2• i ) = C2•( 1+i ) = C0•(1+i )2•( 1+i ) = C0•(1+i)3

• De este modo, al final de n años el capital final será:

Cn = C0 ( 1 + i )n

b. Operación de constitución de prestaciones múltiples y contraprestación única.

El capital final será la suma de todos los términos invertido con los intereses generados por cada término. Estamos calculando el capital final formado por los términos que invertimos a un tipo de interés anual "i" durante "n" períodos.

• Capital creado hasta 1: C1=a1

• Capital creado hasta 2: C2= C1(1+i)+a2 =a2(1+i)+a3

• Capital creado hasta 3: C3= a1(1+i)2+a2(1+i)+a3

• De este modo, en el periodo n el capital final será:

Cn=a1(1+i)n-1+a2(1+i)n-2+....+an-1(1+i)+an

4.3.- Cálculo de los intereses

a. En el caso de prestación y contraprestación únicas:

Ya hemos visto en varias ocasiones que el capital final es la suma del capital inicial más los intereses de manera quesi despejamos el interés total I tendremos

Cn=C0+ I; I = Cn- C0

Y como hemos visto en el anteriormente Cn = C0 ( 1 + i )n ;

sustituimos: I = C0 ( 1 + i )n - C0 , sacando C0 factor común nos quedaría:

I = C0 [ ( 1 + i )n - 1 ]

Ejemplo:

Los intereses producidos por un capital de 1.000.000 de euros durante diez años al 4.5% anual de interés compuesto serán

I = 1.000.000 [ ( 1 + 4.5% )10 – 1 ]

b. En el caso de una constitución de n términos:

I=a1•in-1+a2•in-2+......+an-1•i+an

4.4.- Cálculo del capital inicial

El cálculo del capital inicial es para el caso de prestación y contraprestación únicas.

Despejando el capital inicial C0 en la fórmula ya vista Cn = C0 (1 + i )n nos queda lo siguiente:

C0 = Cn / ( 1 + i )n= Cn•( 1 + i )-n

Por otro lado también sabemos que Cn= C0 + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial C0 nos queda:

C0= Cn - I

Ejemplo:

Sea un Capital final de 1.000.000 de euros; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo invertido al 8 por ciento durante diez años?

C0= 1.000.000 / ( 1 + 8%)10

4.5.- Cálculo del tipo de interés

Recurriremos de nuevo a la fórmula de partida Cn = C0 ( 1 + i )n . En esta ocasión

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