Las cadenas de Markov

Las cadenas de Markov, también conocidas como procesos de Markov o cadenas Markovianas, son un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y en la estadística. Son un tipo de modelo estocástico que se utiliza para describir sistemas que evolucionan en el tiempo en estados discretos, donde la probabilidad de pasar de un estado a otro depende únicamente del estado actual y no de los estados anteriores.

Las cadenas de Markov son llamadas así en honor al matemático ruso Andréi Markov, quien las estudió en profundidad en el siglo XX. Estas cadenas se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones en ciencia, ingeniería, economía, biología, entre otros campos, para modelar sistemas que exhiben cierta forma de “memoria limitada” o “propiedad de Markov”.

Los elementos clave de una cadena de Markov son los siguientes:

1. Espacio de estados: Una cadena de Markov tiene un conjunto finito o contable de estados posibles. Cada estado representa una condición o situación en el sistema que se está modelando.

2. Matriz de transición: Se define una matriz de transición que describe las probabilidades de transición entre estados. Esta matriz indica la probabilidad de pasar de un estado a otro en un solo paso de tiempo. Las probabilidades de transición se deben sumar a 1 para cada fila de la matriz, ya que uno de los estados debe ser el próximo estado.

3. Proceso estocástico: Una cadena de Markov es un proceso estocástico, lo que significa que las transiciones entre estados se rigen por la probabilidad. No se pueden predecir con certeza los estados futuros, pero se pueden calcular las probabilidades de estar en ciertos estados en el futuro.

4. Propiedad de Markov: La propiedad fundamental de las cadenas de Markov es que la probabilidad de pasar a un estado futuro depende únicamente del estado presente y no de cómo se llegó a ese estado. Esto se conoce como la propiedad de Markov o propiedad de transición de Markov.

Las cadenas de Markov se utilizan en una variedad de aplicaciones, como la modelización de sistemas físicos, análisis de redes, pronóstico del clima, análisis financiero, procesamiento de señales, y más. Uno de los tipos más conocidos de cadenas de Markov es la “cadena de Markov de tiempo discreto”, donde los estados se actualizan en intervalos de tiempo discretos. También existen las “cadenas de Markov de tiempo continuo” que se utilizan en situaciones en las que los estados pueden cambiar en cualquier momento dentro de un intervalo de tiempo continuo. Estos modelos son valiosos para comprender y predecir el comportamiento de sistemas que evolucionan en el tiempo de manera aleatoria y probabilística.

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