Matematicas Segunda Entrega

SOLUCIÓN:

f(1) si existe dado que cuando x toma el valor 1, la función f(x) toma también un valor, en este caso igual a 1.La imagen sería el valor que toma la función f(x) cuando x = 1, o sea 1.

Recordemos que para encontrar el límite o determinar si no existe es necesario hallar los límites laterales; es decir, encontrar el valor al que tiende la función cuando nos acercamos a x = 1 tanto por la derecha como por la izquierda.

El límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función sería:

〖lim〗┬(x→1-)⁡〖f(x)=2〗

El límite cuando x tiende a 1 por la derecha de la función sería:

〖lim〗┬(x→1+)⁡〖f(x)=1〗

Como los límites laterales dan diferentes valores podemos afirmar que:

〖lim〗┬(x→1)⁡〖f(x)=no exite〗

No es continua porque no se cumple la condición (ii) de continuidad, dado que: 〖lim〗┬(x→1)⁡〖f(x)=no exite〗

Para que la función sea continua en ese punto es necesario que f(2)=1 y no que f(2)=2 como está actualmente. Por qué?

〖lim〗┬(x→0+)⁡〖f(x)=0〗, dado que cuando nos acercamos a cero por la derecha la función toma valores cada vez más cercanos a cero.

〖lim〗┬(x→0-)⁡〖f(x)=0.5〗, dado que cuando nos acercamos a cero por la izquierda la función toma valores cada vez más cercanos a 0.5.

Podemos reorganizar la función para encontrar la derivada de una forma más sencilla.

f(x)=((2√x)/(2√x+1))^2

f(x)=(2√x)^2/(2√x+1)^2 =4x/(2√x+1)^2 =4x/(4x+4√x+1)

Entonces para poder derivar de una manera más sencilla, simplificamos un poco la función que nos dieron y obtuvimos:

f(x)=4x/(4x+4√x+1)

Esta función es el cociente de dos funciones que podemos llamar:

g(x)=4xyh(x)=4x+4x^(1/2)+1

Por tanto, tenemos:

f(x)=(g(x))/(h(x))

Para derivar una función de este tipo, aplicamos la propiedad de la derivada del cociente de dos funciones, que establece:

f'(x)=(g^' (x)h(x)-g(x) h^' (x))/(h(x))^2

Calculamos entonces cada una de éstas expresiones y por último reemplazamos para obtener la derivada de f(x); es decir, f'(x).

g^' (x)=4

Para derivar h(x) podemos aplicar la propiedad de la suma la cual establece que podemos derivar por aparte cada término de la expresión. Por tanto, tenemos:

Como h(x)=4x+4x^(1/2)+1 derivamos cada término así:

Derivada de 4xes4.

Derivada de4x^(1/2)es1/2 4x^(1/2-1), es decir, 2x^(-1/2)

Derivada de 1 es 0 (la derivada de una constante es cero)

Entonces tenemos que:

h'(x)=4+2x^(-1/2)

Ahora, (h(x))^2sería:(h(x))^2=(4x+4x^(1/2)+1)^2

Reemplazando todos los resultados anteriores en f'(x)obtenemos:

f^'(x) =(g^' (x)h(x)-g(x) h^' (x))/(h(x))^2 =((4)(4x+4x^(1/2)+1)-(4x)(4+2x^(-1/2) ))/(4x+4x^(1/2)+1)^2

Ahora, aplicando un poco de algebra para simplificar la respuesta, tenemos:

f'(x)=(16x+16x^(1/2)+4-16x-8x^(1/2))/(4x+4x^(1/2)+1)^2 =(8√x+4 )/(4x+4√x+1)^2

Se puede seguir simplificando

CALIFICACIÓN 18/20

Dada la gráfica de la función

Calcule la función a trozos.

Observación: el cuarto trozo de la función es una parábola.

Intégrela sobre su dominio.

SOLUCIÓN:

Desde 0 hasta 2 la función es afín

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