Problemario

Actividad 6. Problemario

Instrucciones:

• Lee cuidadosamente los enunciados

• Resuelve los ejercicios, apoyándote con una calculadora, las tablas correspondientes a la distribución, etc.

• Explica claramente lo que haces para resolver y asegúrate que los argumentos que presentes sean consistentes con tus procedimientos y respuestas.

• Verifica las respuestas que obtuviste con los compañeros del curso

• Escribe los ejercicios en un archivo de Word

Variables aleatorias

• Se ha determinado que la llegada de un cliente a un restaurante , durante intervalos de tiempo de 15 minutos, elegidos al azar, tiene la distribución de probabilidad mostrada en la tabla:

xi 0 1 2 3 4 5

pi 0.15 0.25 0.25 0.20 0.10 0.05

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad.

b. Hallar la probabilidad de que el número de personas que llegan, en un intervalo de 15 minutos, sea menor de cuatro.

c. Calcular la probabilidad de que al menos tres personas lleguen en un intervalo de 15 minutos.

d. Determinar el número esperado de personas para un intervalo de 15 minutos.

e. Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad.

Los datos representan una distribución de probabilidad ya que la sumatoria de las probabilidades es igual a 1, todas las probabilidades son positivas y son números comprendidos entre 0 y 1.

b. Hallar la probabilidad de que el número de personas que llegan, en un intervalo de 15 minutos, sea menor de cuatro.

Para resolver se suman las probabilidades de que lleguen desde cero personas a que lleguen tres personas ya que el enunciado menciona menos de cuatro.

ΣP(X)= P(X1)+ P(X2)+ P(X3)

ΣP(X)= 0.15+.025+0.25+.020

ΣP(X)= 0.85

c. Calcular la probabilidad de que al menos tres personas lleguen en un intervalo de 15 minutos.

Para resolver se suman las probabilidades de que lleguen de tres a cinco personas.

ΣP(X)= P(X3)+ P(X4)+ P(X5)

ΣP(X)= 0.20+0.10+0.05

ΣP(X)=0.35

d. Determinar el número esperado de personas para un intervalo de 15 minutos.

Para determinar el número esperado (esperanza o media) para un intervalo de personas se utiliza la fórmula:

Σ µ = xi P(xi)

Σ µ = (0)(0.15)+(1)(0.25)+(2)(0.25)+(3)(0.20)+(4)(0.10)+(5)(0.05)

Σ µ = 0+0.25+0.5+0.6+0.4+0.25

Σ µ = 2

e. Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.

Para solucionar este inciso utilizaremos la siguiente fórmula:

Σ σ2 = (xi - µ)2 P(xi)

Realizando la tabla de valores necesarios.

xi

P(xi)

µ =xi P(xi)

xi P(Xi) Xi P(xi) xi - µ (xi - µ)2 σ2 =(xi - µ)2 P(xi)

0 0.15 0.000 0.000 0.000 0.000

1 0.25 0.250 0.750 0.563 0.141

2 0.25 0.500 1.500 2.250 0.563

3 0.20 0.600 2.400 5.760 1.152

4 0.10 0.400 3.600 12.960 1.296

5 0.05 0.250 4.750 22.563 1.128

Σ 1.00 µ =2.000

4.279

Por lo tanto tenemos que Σ σ2 = 4.279. 

Distribución Binomial

• Sheldon M. Ross. Sección 5.5. Ejemplo 5.17 Suponga que un cierto rasgo (color de ojos, ser zurdo, etc.) se determina por un par de genes, y que además d representa un gen dominante, y r un gen recesivo. Una persona con una pareja de genes (d,d) se dice que es dominante puro y con la pareja de genes (r,r) se dice que es recesiva pura y con una pareja (d,r) se dice que es híbrida. En apariencia, los dominantes puros y los híbridos son similares. Les descendientes de una pareja reciben un gen de cada progenitor y este gen puede, con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor citado.

a. Explicar claramente por qué se trata de una distribución binomial.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente de dos progenitores híbridos tenga la apariencia contraria a la de ellos? Elaborar un diagrama para el cálculo de la probabilidad.

c. Suponga que dos padres híbridos tienen cuatro descendientes, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los cuatro descendientes tengan una apariencia recesiva?

Solución: Un experimento sigue el modelo binomial sí.

a) Se trata de una distribución binomial debido a que los eventos, en este caso los hijos de cada pareja, son independientes uno de otro.

Solo existen dos tipos de gen, por lo cual el resultado solo puede ser que el descendiente recibe un gen dominante “d” o un recesivo “r”.

La probabilidad de que reciba un tipo de gen u otro permanece constante.

b) Primeramente se elabora el espacio muestral, tomando en cuenta que los dominantes puros y los híbridos son similares en apariencia.

S = {dd, dr, rd, rr}

S = {1,1,1,2}

S = {1,2}

Construyendo una tabla que muestre la distribución de probabilidades.

xi 1 2

pi 0.75 0.25

Por lo tanto la probabilidad de un descendiente contrario a un progenitor es de 0.25.

Ahora bien tenemos que:

n = 2

p = 0.25

x = 1

q = 0.75

Y sabemos que la fórmula para determinar la probabilidad de una distribución

...