Relaciones

3.4 Relaciones.

3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.

Si R c A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.

0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 c A x B y A x B c A x B.

Si (x,y) ϵ R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.

R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R3 = {(x, y) / x ϵ A ˄ y ϵ B ˄ x  y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.

R4 = {(x, y) / x  A  y  B  x  y  7}

= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.

R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.

R8 = {(x, y) / x  A , y  B, x  y = 0} = 0.

3.4.2 Dominio de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ( y) (x, y)  R}

En consecuencia,

x  D(R)  ( y)((x, y)  R).

x  D(R)  ( y)((x, y)  R).

3.4.3 Rango de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por (R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

 (R) = { y / ( x) (x, y)  R}

En consecuencia,

y   (R)  ( x)((x, y)  R).

y   (R)  ( x)((x, y)  R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R1) = {3, 1, 5}  (R1) = {2, 8, 4}

D(R2) = {3}  (R2) = {8}

D(R3) = {3, 5}  (R3) = {2, 4}

D(R4) = {3, 1, 5}  (R4) = {2, 4, 6}

D(R5) = {3, 1}  (R5) = {5, 3}

D(R6) = {2, 6}  (R6) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x  Ry  Ry  x}.

El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:

"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.

D(R) = {1, 2},  (R) = { 2, 3}.

3.4.4 Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R)  A y  (R)  B.

3.4.5 Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y)  R} se denomina relación inversa y se denota R1. En consecuencia,

• (y, x)  R1  (x, y)  R.

• (y, x)  R1  (x, y)  R.

• Si R es una relación de A en B, entonces R1 es una relación de B en A.

3.4.6 Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x  A  y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa A:

En consecuencia:

(x, y)  A  x  A  y = x.

(x, y)  A  x  A  y  x.

Ejemplo 7.

R es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es

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