Proyecto de modelación Teoría de juegos

Universidad autónoma de la Ciudad De México

Plantel: San Lorenzo Tezonco

Proyecto de modelación

Teoría de juegos

Alumno:
Romero Bautista César Eduardo

Fecha: 10/11/17

Índice

Introducción        3

Historia de teoría de juegos        4

Definiciones        6

Tipos de juegos        8

Aplicaciones en diferentes campos        10

Dilema del prisionero:        11

Conclusiones:        12

Referencias:        12

Introducción

Los psicólogos resaltan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en la sociedad, resolver problemas y situaciones conflictivas. Por esta razón es que desde la niñez tenemos que seguir desarrollando el instinto de jugar y progresar conforme a ellos. Todos los juegos, de niños y de adultos así como los juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que reconocemos situaciones que se repiten con frecuencia en el mundo real.

Algunos científicos se inspiraron con el estudio de varios juegos, para poder desarrollar modelos matemáticos y teorías que les ayudaron a entender aún más de ellos y así mismo poder aplicarlo a conflictos de la vida cotidiana, como el dilema del prisionero, el cual hablaremos en este trabajo.

Curiosamente la teoría de juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios, sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. Y también estudia las características generales de las situaciones competitivas de manera formal y abstracta. Así como el estudio de como maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas. En este trabajo mencionaremos alguna de ellas para dar a conocer algunas formas como el procedimiento minimax. Pero los Árboles de predicción nos ayudaran a explicar este procedimiento.

Los “juegos” analizan matemáticamente situaciones en las que aparece un conflicto de por medio. Su objetivo es encontrar las opciones óptimas para la resolución del conflicto y así llegar al mejor resultado.

La teoría de juegos es una rama de la Matemática con aplicaciones en Economía, Biología, Sociología, Psicología, entre otras.

En este trabajo analizaremos la historia de la teoría de juegos, sus aplicaciones, algunos algoritmos para mejorar el resultado en los juegos de decisiones, que serán aplicables a juegos de dos personas, mejor dicho dos jugadores.

Historia de la teoría de juegos

La teoría de juegos comienza en 1913, con trabajos de Zermelo, Borel y Von Neumann los cuales exponen la base para la teoría de juegos.

En 1921 el matemático francés, Émile Borel, hizo públicos varios artículos sobre la théorie du jeu ("Teoría de juegos y ecuaciones integrales de núcleo simétrico izquierdo") Donde planteó las cuestiones esenciales de la teoría de juegos: ¿Para qué juegos existe la mejor estrategia, y de qué manera puede uno buscar esa estrategia? [Gámez Jiménez C., 2006]. De esta manera poco a poco la teoría de juegos tomó forma e influencia en las matemáticas.

Desde la década de 1920 John Von Newmann, estuvo trabajando en la estructura matemática del póker y otros juegos. De esta manera Borel y Newmann analizaron los equilibrios de tipo minimax para juegos de suma cero. El primer avance importante se produjo hasta la publicación del libro de Newmann y Morgenstern The Theory of Games Behavior (Comportamiento de la teoría de juegos), en el año 1944.[Gámez Jiménez C., 2006]. Por esto John Von Neumann y Borel se convirtieron en dos personajes importantes para el desarrollo de la teoría de juegos.

En 1950 Nash definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero. Y en  1953 hubo un desarrollo importante con Luce y Raiffa, los cuales difundieron resultados en su libro introductoria Kuhn, que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos. [Bravo Raspeño J., 2015]. Durante los años 50’s, el Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las investigaciones en la teoría de juegos, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.

El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores piensa en cambiar de estrategia, ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Newmann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar en 1945, pero sólo para los juegos de suma cero, el cual es el procedimiento minimax.  Para la solución formal del problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani.

En los años siguientes Nash publicó nuevos escritos con soluciones originales para algunos problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. También propuso lo que se llama "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no cooperativo.

En los 60 y 70 Harsany extendió la teoría de juegos de información incompleta: por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a juegos, en 1975 Selten, definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta.  [Bravo Raspeño J., 2015].

Los juegos de estrategia son más complicados que los juegos de azar (ruleta, baccarat, etc.). El estudio de los juegos de azar es antiguo, y como resultado de esto surgió la teoría de las probabilidades, sin la cual no hubiera sido posible el avance logrado por la ciencia contemporánea.

Definiciones

Para entender más a fondo la teoría de juegos es necesario proporcionar algunas definiciones, las cuales ayudaran a comprender los conceptos básicos;

• Juego: Se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte un número determinado de jugadores. En donde hay ciertas reglas que hay que seguir para que el juego comience y se definen las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego.

• Jugada: Es un movimiento que define como progresa el juego de una fase a otra, desde el inicio hasta el último movimiento.

• Estrategia: Es una lista con opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego, en otras palabras es un plan que sigue cada jugador para poder ganar el juego.

• Ganancia: Designa lo que ocurre al termino de una partida. Algunos juegos tienen ganancias monetarias, o algunos sólo asigna a un ganador y a un perdedor.

• Equilibrio minimax: Se refiere a que el jugador que pierde se conforma con perder la mínima de las máximas pérdidas que puede tener, y el jugador que gana se conforma con ganar la máxima de las mínimas ganancias que puede obtener.

• Representación de juegos: Hay dos posibilidades de representar a los juegos: normal y extendida;

• Normal: Es un juego de forma normal cuando se saben todas las posibles estrategias del juego para todos los jugadores.
• Extendida: En forma contraria a la normal, en esté no se conocen todas las posibles estrategias del juego, pues todas las jugadas están fijas por las reglas.

• Información perfecta: Cuando en un juego se conocen los movimientos realizados por el resto de jugadores se llama juegos con información perfecta. Solamente pueden ser juegos de este tipo, los secuenciales. En teoría de juegos, la mayoría de los juegos estudiados, son de información imperfecta.

• Información completa: Cuando cada jugador conoce todas las posibles jugadas, se le denomina juego de información completa. En estos juegos, cada jugador tiene la misma información sobre el juego que el resto de los jugadores.

Tipos de juegos

Dentro de la teoría de juegos existen diversos tipos de juegos, que se clasifican dependiendo del número de jugadores y las circunstancias que envuelven el juego.

Juegos Individuales: Los juegos en los que interviene un soló jugador, no nos genera mucho interés para el estudio de la teoría de juegos porque no generan un conflicto grande.

Juegos de dos o más jugadores: Este tipos de juegos son los que más interés tienen para la teoría de juegos, ya que para extender los juegos de dos a n jugadores es difícil extender los resultados.

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