ADMINISTRACION

TEMA 6

Sucesiones y series numericas

Objetivos: Los objetivos son: (1) estudiar la convergencia de las sucesiones

numericas, (2) Conocer las series numericas y sus propiedades; (3) saber aplicar

los criterios y estudiar la convergencia de las series numericas.

Prerrequisitos: Manipulacion de expresiones y propiedades de las funciones

elementales. Concepto de lmite de una funcion y calculo de lmites (regla de

L'H^opital).

Contenido:

Leccion 6.1 Sucesiones numericas. Definicion, caractersticas

y convergencia. Estudio de la convergencia y calculo de

lmites. Infinitesimos equivalente.

Leccion 6.2 Series numericas. Definicion, propiedades elementales

y suma de series. Criterios de convergencia.

Leccion 6.3 Series funcionales. Introduccion: funciones denidas

mediante series. Series de potencias y series de Taylor. Aplicaciones a la

suma y aproximacion de series numericas. Series trigonometricas y serie

de Fourier.

Ingeniera Informatica. Calculo para la computacion 217

218 Calculo para la computacion

LECCION 6.1

Sucesiones numericas

La palabra sucesion designa una coleccion ordenada de objetos, de modo

que uno de ellos se identica como el primero, otro como el segundo, etc. Por

lo tanto, una sucesion numerica es una secuencia de numeros ordenados.

Definicion 6.1 Una sucesion de numeros reales es una aplicacion a: N ! R.

0 1 2 3 : : : n : : :

# # # # : : : # : : :

a0 a1 a2 a3 : : : an : : :

Estas funciones se representan con notacion de subndices en lugar de con

parentesis, es decir, al 0 le hace corresponder a0 (en lugar de a(0)), al 1 le

hace corresponder a1 (en lugar de a(1)), y as sucesivamente.

Los numeros reales a0; a1; a2; a3; : : : ; an; : : : son los terminos de la sucesion;

an es el termino n-esimo de la sucesion, es decir, el termino que ocupa la

posicion n y se denomina termino general de la sucesion; y la sucesion completa

se denota fang, o simplemente an. En algunas ocasiones no sera posible o no

interesara comenzar la sucesion con a0, sino en cualquier otro termino, de

modo que la sucesion sera: fak; ak+1; ak+2; : : : g para algun k > 0.

Ejemplo 6.1.1 Veamos algunos ejemplos de sucesiones:

Los terminos de la sucesion an = 1

n

con n  1 son

1;

1

2;

1

3;

1

4; : : : ;

1

n

: : :

Los terminos de la sucesion bn = (

...