Series Sucesiones

1.-

Sucesiones.

En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o eventos está en sucesión significa generalmente que la colección está ordenada de manera que tiene un primer miembro, un segundo miembro, y así sucesivamente.

Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el presentar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por ejemplo, en a sucesión

Al 1 se le asigna a1, al 2 se le asigna a2, y así sucesivamente. Los números a1, a2, a3,…,an,… son los términos de la sucesión. El número es el enésimo de las sucesión, y la sucesión completa se denota por .

Ejemplo.

1.- Los términos de la sucesión son

2, 4, …..

2.- Los términos de la sucesión son

-1,

Series.

Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. Informalmente, si es una sucesión infinita, entonces

Es una serie. Los números a1,a2,a3, sin los términos de la serie. En alunas series es conveniente empezar con el índice n=0 (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie simplemente como .

Ejemplos.

1.- =

2, 4, …..

2.- =

-1

2.-

Una serie es la suma de una sucesión. Las series se suelen escribir con el símbolo Σ.

3.-

Series infinitas.

Es cuando se suman varias sucesiones a un límite de al infinito.

Series finitas.

Es cuando se suman varias sucesiones a un límite determinado

4.-

Dada una serie infinita , la n-ésima suma parcial dada por.

Si la sucesión de sumas parciales converge a S, entonces la serie Converge. El límite S se llama suma de la serie.

Si diverge, entonces la serie diverge.

Ejemplos.

La serie converge aplicando el criterio de la razón:

5.-

1. 2.

La serie converge La serie converge.

6.-

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una

...