Sucesiones y series

Sucesiones y series

1.- DEFINICION.- Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que responden a una ley de formación.

La sucesión suele abreviarse:

(an) = (a1, a2, a3, ..., an; …)

Siendo:

a1 el primer término.

a2 el segundo término.

a3 el tercer término, etc.

Y los puntos suspensivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos términos.

El término general o n-ésimo de una sucesión puede expresarse:

(an) = ( ........ )

1.1LIMITE DE UNA SUCESION

DEFINICION: Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.

Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos.

Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

Por ejemplo:

a1= 1 a2= 0.5 a1000= 0.001 a1000 000 = 0.000001

El límite es 0

2. TEOREMAS SOBRE LA CONVERGENCIA

Primer Teorema

La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

En otras palabras el límite de la suma es la suma de los límites.

Segundo Teorema

La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercer Teorema

El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarto Teorema

Si una sucesión (an ) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinto Teorema

Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

2.1 Sucesiones divergentes:

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+¥ ó -¥ ). Expresado de forma rigurosa:

• Una sucesión (an ) tiene por límite +¥ ó diverge a +¥ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier

n ³ no , an > k.

Esto es equivalente a afirmar que para n ³ no , an está en el intervalo (k, +¥), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.

• Una sucesión (an ) tiene por límite -¥ ó diverge a -¥ si elegido un número k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier

n ³ no , an < -k.

Esto equivale a decir que para n ³ no , an pertenece al intervalo (-¥, -k).

Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice no será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no .

3. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS

3.1 Sucesiones monótonas:

Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6,........

O si sus términos son no crecientes:

1, 4, 3, 8, 5,...........

Determinando si una sucesión es monótona, se toman las siguientes sucesiones como ejemplos:

 {an}= {3+ (-1)n} Esta sucesión alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monótona.

 {bn}= {2n/ (1 + n) Monótona, porque cada término es mayor que su predecesor.

Las sucesiones monótonas pueden ser:

 Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

an+1 > an

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8;...

 Sucesión creciente

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su

...