Sucesiones y Series Numericas

Sucesiones y Series Numericas

Introduccion

este tema se basa en el uso de los numeros para llegara determinada cantidad en un lapso de tiempo

o sabercuantos numero hay en determinado lapso de numeros sin la necesidad de escribir todos ellos solo con el uso de formulas podemos llegar a esa cantidad buscada.

Sucesiones numéricas

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:

0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

http://www.youtube.com/watch?v=k2NZcj2fkzI&feature=related

En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.

En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

que escribiremos simplemente como o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale .

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

Una sucesión en es una enumeración de números reales , es decir una aplicación de en .

Sucesiones Acotadas

Una sucesión , está acotada cuando,

Sucesiones Convergentes

Una sucesión , converge a o tiene por límite (cuando ), y se escribe,

cuando,

Unicidad del límite de una Sucesión

Si una sucesión converge, entonces el es único.

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente

Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.

Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada término el valor que le corresponde directamente:

• El primero es a por ejemplo 3,

• el segundo es a por ejemplo -10,

• el tercero es a por ejemplo 9, y así sucesivamente.

• Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como a por ejemplo número al azar, ... .

Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre puede ser cambiado, si hace falta, por , , , , ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: , donde sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, , es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente .

ejemplo: si queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesión creciente

Si imponemos al término general, de una sucesión numérica, la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .

Para reales: .

Si imponemos , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

• si es estrictamente decreciente.

• si entonces la sucesión es decreciente,

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizada por las series llamadas series alternadas.

Según el término general

El término general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si donde es una función cualquiera como por ejemplos:

que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

que daría todos los números pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .

que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función , llamaremos extensión en los reales de a una función cuyos valores coinciden en el dominio de , es decir, .

Series Numericas

Sumas parciales

La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :

.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como

Una serie geométrica es una serie

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