SERIES NUMÉRICAS

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE MATEMA´TICA

LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´on  a  las  sucesiones y  series  num´ericas

Ram´on Bruzual Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela Septiembre 2005

Ram´on Bruzual

Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez

Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos Centro de An´alisis

Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias

Universidad Central de Venezuela

http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota:  Este material est´a disponible en la p´agina web

http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm

En  general  mantenemos  una  r´eplica  en  un  servidor  externo  a  la  Universidad  Central  de Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.

Pr´ologo

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series Num´ericas,  del  curso  de  Matem´atica  III  de  la  Facultad  de  Ciencias  de  la  Universidad  Cen- tral de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.

El  trabajo  de  mecanograf´ıa  y  la  elaboraci´on  de  los  gr´aficos  est´a  a  cargo  de  los  autores.

Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.

Ram´on Bruzual. Marisela Dom´ınguez. Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO

Cap´ıtulo 1.        Sucesiones num´ericas.         1

1. Definiciones y resultados b´asicos         1
2. Sucesiones convergentes.        4
3. El nu´mero e.         5
4. Sucesiones mon´otonas.         5
5. Operaciones con sucesiones        5
6. Repaso de la regla de L’Hˆopital.         6
7. L´ımite infinito        9
8. Sumas finitas y el s´ımbolo sumatorio.         11

Ejercicios.

Sucesiones.        13

Cap´ıtulo 2.        Series num´ericas.         19

1. Series.        19
2. Convergencia y divergencia de series.        22
3. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos.         24
4. Criterios de convergencia para series de t´erminos alternadas.         30
5. Series telesc´opicas.         30

Ejercicios.

Series.        32

Cap´ıtulo 3.        F´ormula de Stirling y producto de Wallis.         37

1. La f´ormula de Stirling.         37
2. El producto de Wallis.        38

Ejercicios.

F´ormula de Stirling y producto de Wallis.         41

Bibliograf´ıa        43

´Indice         45

v

CAP´ITULO  1

Sucesiones  num´ericas.

Este cap´ıtulo es un repaso de cursos previos.

Concepto de sucesi´on y ejemplos.  L´ımite de una sucesi´on.  Propiedades del l´ımite.  C´alculo de l´ımites de sucesiones.

1. Definiciones  y  resultados  b´asicos

La idea de sucesi´on en R es la de una lista de puntos de R. Son ejemplos de sucesiones:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

2, 4, 6, 8, 10, . . .

1, 4, 9, 25, 36, . . .

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .

1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .

1, −1, 1, −1, 1, . . .

Lo importante acerca de una sucesi´on es que a cada nu´mero natural n le corresponde un punto de R, por esto damos la siguiente definici´on.

...