Series numéricas
Enviado por ruthedna • 2 de Noviembre de 2012 • Examen • 1.391 Palabras (6 Páginas) • 532 Visitas
Series numéricas
8.1. Definición y primeras propiedades
Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y comentarios
en [APOSTOL1, cap. 10] y en [DURÁN, pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente,
por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad
73
= 2,333. . . significa
73
= 2+ 3
10
+ 3
100
+ 3
1000
+. . . ,
suma con infinitos sumandos de la forma 3
10n , n ! N. En general, consideraremos una sucesión cualquiera
(an) y su suma Σ∞n=1 an. ¿Qué sentido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impone de
modo natural: Σ∞n=1 an tiene que ser l´ım m"∞
mΣ
n=1
an.
Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de sumandos (an) una
nueva sucesión de sumas (sm) dada por sm = a1 +a2 +···+am, m ! N, y determinar el límite (si
existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:
lugar 1 2 3 4 . . . n . . .
término a1 a2 a3 a4 . . . an . . .
suma a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 . . . a1+···+an . . . "?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué
novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto
de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades
de la sucesión de sumas (sn) basándonos en propiedades de los términos an. Pasemos a formalizar
estas ideas.
8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes
Definición 8.1.1. Una serie Σ∞n=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas por
la condición de que para cada n ! N es
sn = a1+a2+···+an.
171
172 Capítulo 8. Series numéricas
El término n-ésimo de la primera sucesión, an, recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el
término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie.
Se dice que la serie Σ∞n=1 an es convergente si la sucesión (sn) de sus sumas parciales es convergente,
es decir, si
#l´ım m sm = l´ım m
mΣ
n=1
an ! R.
Decimos que la serie Σ∞n=1 an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión de sus
sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.
Si una serie Σ∞n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesión de sus
sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente.
Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo símbolo que
la serie. Es decir, se escribe
∞Σ
n=1
an = l´ım m
mΣ
n=1
an,
cuando este límite existe.
Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma Σ∞n=m an, donde m es un número entero: las
sumas parciales serán entonces s1 = am, s2 = am+am+1,. . . , sn = am+···+am+n−1, . . .
Se utiliza también la notación am+am+1+···+an+··· en vez de Σ∞n=m an y, cuando no da lugar
a confusión, se abrevia en Σan.
Ejemplo. Una serie Σ∞n=1 an es una serie geométrica si existe un r ! R tal que para todo n ! N es
an+1 =ran (o an+1/an =r si a1 %=0); de otro modo, si es de la forma Σ∞n=0 arn. Si sn es su suma parcial
n-ésima, se tendrá
sn = a+ar+···+arn−1 =
!
a1−rn
1−r si r %= 1
an si r = 1
.
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
a) si |r| < 1, la serie
∞Σ
n=0
arn es convergente y la suma es a
1−r ;
b) si r & 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);
c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas;
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo. La serie
∞Σ
n=1
1n
se llama serie armónica Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-ésima, denotada habitualmente
por Hn, cumple
Hn =
nΣ
k=1
1k
&
nΣ
k=1
" k+1
k
dx
x
=
" n+1
1
dx
x
= log(n+1),
luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que l´ımn
1n
= 0.
8.1. Definición y primeras propiedades 173
El carácter de una serie no cambia si se prescinde de un número finito de sumandos (aunque sí
puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma más precisa,
Proposición 8.1.2. Dada una serie Σ∞n=1 an y un entero m > 1, se tiene:
a) Σ∞n=1 an converge si y solo si converge Σ∞n=m an. Si convergen, entonces
∞Σ
n=1
an =
m−1
Σ
n=1
an+
∞Σ
n=m
an.
b) Σ∞n=1 an diverge a +∞ si y solo si Σ∞n=m an diverge a +∞.
c) Σ∞n=1 an diverge a −∞ si y solo si Σ∞n=m an diverge a −∞.
d) Σ∞n=1 an es oscilante si y solo si Σ∞n=m an es oscilante.
Demostración. Basta observar que para todo p > m es
pΣ
n=1
an =
m−1
Σ
n=1
an+
pΣ
n=m
an,
donde Σm−1
n=1 an está fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas
...