Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz
Enviado por dye05 • 2 de Diciembre de 2013 • Trabajo • 914 Palabras (4 Páginas) • 1.342 Visitas
4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz
Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
---- Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe con , el Criterio de D'Alembert establece que:
§ si L < 1, la serie converge.
§ si L > 1, entonces la serie diverge.
§ si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
---- Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe, siendo Entonces, si:
§ L < 1, la serie es convergente.
§ L > 1 entonces la serie es divergente.
§ L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
4.3 Serie de potencias
En matemáticas , una serie de potencias (en una variable) es una serie infinita de la forma
donde un n representa el coeficiente de la n -ésimo término, c es una constante, y x varía alrededor de C (por esta razón, a veces se habla de la serie como está centrada en c ). Esta serie se presenta generalmente como la serie de Taylor de alguna conocida función .
En muchas situaciones c es igual a cero, por ejemplo cuando se considera una serie de Maclaurin . En tales casos, la serie de potencias toma la forma más simple
Estas series de potencias surgen fundamentalmente en el análisis , sino que también se producen en combinatoria (bajo el nombre de la generación de funciones ) y en ingeniería eléctrica (bajo el nombre de la transformada Z ). El familiarizado notación decimal para los números reales también se puede ver como un ejemplo de una serie de potencias, con coeficientes enteros, pero con el argumento x fija en 1/10 . En la teoría de números , el concepto de los números p-adic está también estrechamente relacionada con la de una serie de potencias.
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
4.4 Radio de convergencia
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma
viene dado
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