Series y sucesiones - Convergencia y divergencia

CRITERIO

Posibles situaciones de aplicación

1.  Prueba de la divergencia

• Si [pic 1] o [pic 2] no [pic 3] entonces la serie es divergente

Cuando detectamos que el límite del término general de la serie es distinto de cero o no existe.

2.   Series P

• Si p>1 la serie converge
• Si p[pic 4]1 la serie diverge

Cuando la serie tiene la forma [pic 5]

3.   Series geométricas

• Si [pic 6] la serie converge
• Si [pic 7]la serie diverge

Cuando la serie tiene o se puede llevar a la forma

[pic 8] o bien[pic 9]

4.  Series alternadas – Criterio de Leibniz

Si [pic 10][pic 11]la serie es convergente

[pic 12]

Cuando la serie tiene la forma

[pic 13] o bien [pic 14]

5.  Prueba de la integral

Si [pic 15]es positiva y decreciente en [pic 16] y [pic 17], entonces la serie [pic 18] converge si y sólo si converge  la integral impropia  [pic 19]

Cuando [pic 20] y [pic 21]es positiva y decreciente y la integral impropia es fácil de calcular

6.   Criterio de la raíz de Cauchy

[pic 22]

Cuando el término general tiene la forma [pic 23]

7.   Criterio de D’alembert

[pic 24]

Cuando en la expresión del término general intervienen factoriales u otros productos, tales como [pic 25].

No es de utilidad la aplicación de este criterio para las series p, las funciones racionales o algebraicas de n, porque an / an-1 tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

8.   Comparación de series

• Si una  serie [pic 26] es minorante de  la serie[pic 27] y esta última es convergente de suma S, entonces [pic 28]es convergente y su suma es menor o igual que S
• Si una serie [pic 29]es mayorante de una serie [pic 30]divergente, entonces [pic 31]también es divergente

Cuando la serie tiene una forma similar a las series p o la suma de una serie geométrica