Movimiento Vibratorio Amortiguado

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjbjnbMovimiento Vibratorio Amortiguado (Zill, 1988)

El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que el movimiento descrito por la ecuación - kx + mg - ks = - kxsupone que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como muestra la figura 5.8, la masam podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.

Ecuación diferencial del movimiento con amortiguación:

En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el estudio que sigue que esta Fuerza está dad por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene, por la segunda ley de Newton, que:

m d²x/dt² = -kx - dx/dt

En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta al movimiento.

Dividiendo m d²x/dt² = -kx - dx/dt entre la masa m se obtiene la ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre.

d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0

o bien d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0

En la ecuación d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0 identificamos

2 = /m, ² = k/m.

El símbolo 2 se usa sólo por conveniencia algebraica ya que la ecuación auxiliar es m² + 2m + ² = 0 y por lo tanto las correspondientes raíces son:

m1 = - + "(² - ²), m2 = - - "(² - ²)

Según el signo algebraico de ² -² podemos distinguir tres casos posibles. Puesto que cada solución contendrá el factor de amortiguación e ,siendo > 0, los desplazamientos de la masase volverán insignificantes para valores grandes del tiempo.

Caso I:

² - ² > 0. En esta situación decimos que el sistema está sobreamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación es grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente solución de d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0 es x(t) = C1e + C2e o bien:

x(t) = e (C1e + C2e ).

Caso II:

² - ² = 0. Decimos que el sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución general será:

x(t) = e (C1 + C2t)

Caso III:

² - ² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = - + "(² - ²)i m = - - "(² - ²)i y por lo tanto la solución general es:

x(t) = e [C1 cos "(² - ²)t + C2 sen "(² - ²)t]

Ejemplo:

Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento.

R/ Por la ley de Hooke tenemos:

8 = k (2), k = 4lb/pie

y por m = W/g

m = 8/32 = 1/4slug.

En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es:

1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0

Las condiciones iniciales son:

x(0) = 0, dx/dt% = - 3

%t = 0

Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:

m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0

De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t)

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