Algebra - Proyecto Final

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UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA LEÓN

Álgebra Lineal

Proyecto Final

Roberto Burgos Barragán

Profesor Manuel de Jesús Reyes

Ingeniería Industrial

29 de Noviembre del 2016

Matriz de transformación homogénea

Una matriz de Transformación Homogénea es aquella que transforma un vector de posición expresando en coordenadas homogéneas en cuanto a un sistema de coordenadas que fue trasladado a otro sistema de coordenadas.

Se define como una matriz de 4x4 que muestra la transformación de coordenadas vectoriales homogéneas de un sistema a otro. Esta consiste de cuatro submatrices. La figura 1 representa aquella matriz.

[pic 2][pic 3][pic 4]

Como se mencionó previamente la matriz de transformación homogénea está compuesta por 4 diferentes matrices las cuales voy a mencionar:

1. R3X3: Se refiere a la matriz de rotación de eje, como se muestra en la imagen el “3x3” se refiere a sus 3 columnas por sus 3 filas. Esta matriz da uso a las funciones trigonométricas ya que consiste en el movimiento rotatorio. Esta matriz depende de su eje de rotación, ya sea x, y ó z se verá así:

• Cuando rota en x:[pic 5]

[pic 6]

• Cuando rota en  y:

[pic 7]

• Cuando rota en z:  

• Cuando no hay una rotación la matriz queda de la siguiente forma:[pic 8]

También se realiza un cambio en el sistema de coordenadas: [pic 9]

1. P3X1: Se refiere al vector de traslación, si el sistema XYZ coincide con las coordenadas base a manipular entonces los puntos de esta matriz que son Px, Py, y Pz son las coordenadas deseadas del efector final. Así luciría una matriz de rotación combinada con una de traslación, en este caso en el eje X:

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1. F1x3: Este es un vector de perspectiva, representa la diferencia entre los dos sistemas, consta de 3 columnas que son el eje “x”,”y” y “z”.
2. W: Se refiere a la escala entre los sistemas de coordenadas, es la razón de su único valor.

Composición de matrices

Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples. A continuación les mostraré un ejemplo que representa un giro de un ángulo alfa sobre el eje X, este seguido de un giro de ángulo theta sobre el eje Y y un giro de un ángulo theta sobre el eje Z, así quedaría la matriz como resultado.

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