Método de Runge-Kutta

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Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Índice  [ocultar]

1        Descripción

1.1        Ejemplo

1.2        Variantes

2        Métodos de Runge-Kutta

2.1        Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

3        Véase también

4        Referencias

5        Enlaces externos

Descripción[editar]

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

{\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))\,} {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))\,}

una ecuación diferencial ordinaria, con {\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} donde {\displaystyle \Omega \,} {\displaystyle \Omega \,} es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

{\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega .} {\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega .}

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\,\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}} {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\,\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}},

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento {\displaystyle \Delta t_{n}} {\displaystyle \Delta t_{n}} entre los sucesivos puntos {\displaystyle t_{n}} {\displaystyle t_{n}} y {\displaystyle t_{n+1}} {\displaystyle t_{n+1}}. Los coeficientes {\displaystyle k_{i}} k_{i} son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+h\,c_{i}\,,y_{n}+h\,\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right)\quad i=1,...,s.} {\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+h\,c_{i}\,,y_{n}+h\,\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right)\quad i=1,...,s.}

con {\displaystyle a_{ij},b_{i},c_{i}} {\displaystyle a_{ij},b_{i},c_{i}} coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes {\displaystyle a_{ij}} {\displaystyle a_{ij}} del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, {\displaystyle a_{ij}=0} {\displaystyle a_{ij}=0} para {\displaystyle j=i,...,s} {\displaystyle j=i,...,s}, los esquemas son explícitos.

Ejemplo[editar]

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en {\displaystyle t=t_{n}} {\displaystyle t=t_{n}} y otra en {\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}} {\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}}. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

{\displaystyle f_{n}=k_{1}=f(t_{n},y_{n})\,} {\displaystyle f_{n}=k_{1}=f(t_{n},y_{n})\,}

Para estimar ƒ(t,y) en {\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}} {\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}} se usa un esquema Euler

{\displaystyle f_{n+1}=k_{2}=f(t_{n}+\Delta t_{n}\,,y_{n}+\Delta t_{n}k_{1}).\,} {\displaystyle f_{n+1}=k_{2}=f(t_{n}+\Delta t_{n}\,,y_{n}+\Delta t_{n}k_{1}).\,}

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,dt,} {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,dt,}

de manera que se obtiene la expresión:

{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{{\Delta t_{n}} \over 2}(k_{1}+k_{2}).} {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{{\Delta t_{n}} \over 2}(k_{1}+k_{2}).}

Los coeficientes propios de este esquema son: {\displaystyle b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.} {\displaystyle b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.}

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