Punto fijo Solucones Computacionales

Método de Punto Fijo

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximaciones sucesivas, requiere volver a escribir la ecuación  en forma .[pic 1][pic 2]

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de , que es mejorada por iteraciones hasta alcanzar la convergencia. Para que esto ocurra la convergencia, la derivada  debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores de  que se encuentren durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en  de una iteración a la siguiente no es mayor en magnitud que alguna cantidad .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Procedimiento Algoritmo de Punto Fijo

1. Se conjetura un valor inicial  y se elige un parámetro de convergencia .[pic 8][pic 9]
2. Se calcula un valor mejorado  a partir de [pic 10][pic 11]
3. Si ,  se iguala a  y se vuelve al paso 2; en caso contrario,  es la solución que se aproxima a la raíz.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Para que se dé el método de punto fijo de cumplirse las siguientes condiciones:

• Si  y ,  entonces  tiene un punto fijo en .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
• Y si además  existe en  y existe una constante positiva  con  entonces el punto fijo en  es único.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Algoritmo del Método de Punto Fijo

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Algunas consideraciones importantes para el método de punto fijo son la elección de la función  y la elección del parámetro de convergencia . La función  debe producir convergencia, y  se debe elegir de modo que sea compatible con la precisión de la máquina.  En el algoritmo propuesto tiene el propósito de evitar ocurrencia de ciclos infinitos en casos de no convergencia, se ha impuesto un límite sobre el número de iteraciones.[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

En caso de que no haya convergencia, para determinar si el método es convergente se puede usar una historia de valores de . Si el método es convergente pero no se logra la convergencia, entonces el límite sobre iteraciones o criterio  (o ambas cosas) puede ser irrealmente pequeño, por lo que se debe modificar.[pic 31][pic 32]

La ventaja principal del método iterativo puntualmente es su facilidad de aplicación cuando es posible encontrar . Desafortunadamente, a menudo es imposible encontrar una función que produzca convergencia. Inclusive en casos en los que se puede lograr la convergencia, la velocidad de convergencia puede ser lenta; por consiguiente, es importante aceptar que el fracaso de la convergencia a un límite especificado puede simplemente ser resultado de un límite de iteración demasiado pequeño.[pic 33]

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