Punto Fijo

5.4. MÉTODO DE PUNTO FIJO

El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una forma equivalente:

f(x) = 0

x - g(x) = 0

x = g(x)

Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g(xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . .

donde x0 es una aproximación inicial del cero de f.

Ejemplo.

f(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:

parece que los valores convergen a x = 3.

Otro reordenamiento de f(x) = 0 es :

Si nuevamente se comienza con x0 = 4, los valores sucesivos de x son:

parece que ahora x converge al otro cero de f, x = -1.

Considérese un tercer reordenamiento

Comenzando de nuevo con x0 = 4 se obtiene:

x0 = 4

x1 = 6.5

x2 = 19.625

x3 = 191.070

resulta evidente que las iteraciones son divergentes.

La diferencia en el comportamiento de los tres reordenamientos se puede apreciar considerando las gráficas en los tres casos. El punto fijo de x = g(x) es la intersección de la recta y = x, y la curva y = g(x). En la figura 5.5 se presentan los tres casos. Se comienza en el eje x con x0, se efectúa un desplazamiento vertical hacia la curva, luego uno horizontal hacia la recta y = x, luego uno vertical hacia la curva y nuevamente una horizontal hacia la recta. Este proceso se repite hasta que los puntos en la curva convergen a un punto fijo o bien divergen. Parece que los diferentes comportamientos dependen de que la pendiente de la curva sea mayor, menor o de signo opuesto a la pendiente de la recta (que es igual a 1)

Cuando se tiene la ecuación f(x) = 0, existen muchas formas de reordenarla en la forma x = g(x), por ejemplo para la ecuación anterior x2-2x-3 = 0 otras alternativas son:

**

Una pregunta que surge en este momento es ¿cuál de las funciones g sirve para aproximar el punto fijo de g? (o en forma equivalente el cero de f) . A continuación se presenta un teorema que da condiciones suficientes para la existencia y unicidad del punto fijo de una función.

Teorema 1.

Si g es continua [a,b] y g(x) [a,b] para toda x [a,b], entonces g tiene un punto fijo en [a,b].

Y si además g’(x) existe en (a, b) y existe una constante positiva K < 1 con |g'(x)| K, para todo x (a,b), entonces el punto fijo en [a,b] es único.

Véase la figura 5.6

(Demostracion)

Ejemplo.

La función g(x)=(x2-3)/2 en el

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