Método De Punto Fijo

MÉTODO DE PUNTO FIJO.

Recibe el nombre de punto fijo por que busca un valor dos la función corta al eje de las abcisas.

Fundamentación: Es un método Iterativo que se aplica para encontrar raíces reales de funciones de la forma f(x)=0, inicia con la reorganización de la función en una expresión equivalente x=g(x), de manera tal que f(r)=0, o bien r =g(r).

La iteración se refiere que x=g(x) es una ecuación de recurrencia que se va aplicado repetidamente para obtener aproximaciones a la raíz, en términos generales la podemos expresar como xn+1=g(xn), n=0,1,2,3…., hasta que se cumpla una tolerancia, es decir, que dos iteraciones sucesivas cumplan con un valor predeterminado (ɛ<1), o que la diferencia entre ellas sea cero (xi-xi+i=0). Se parte de un valor inicial xo, lo recomendable es que sea cercano a la raíz

Ejemplo: Encontrar una aproximación a una raíz real de la ecuación cosx-3x=0

Graficando por separado las funciones cosx y 3x obtenemos un idea del valor inicial, en este caso la raíz esta entre cero y π/2, iniciamos con xo=( π/2)/4 = π/8

Haga clic aquí para escribir texto. Consideramos la ecuación de recurrencia x = cosx -2x

i

xi g(xi) Abs(f(xi))

0

π/2=0.393 0.216 0.356

1

0.216 0.571 0.713

2

0.571 -0.142 1.443

3 -0.142 1.283 2.851

4

1.283 -1.567 5.701

Como se observa en la tabla, las iteraciones sucesivas no tienden a cero, se maneja el valor absoluto de f(x) para la idea de distancia y en la tabla vemos que nos alejamos de valor de la raíz. Ahora consideraremos la ecuación de recurrencia x=(cosx)/3, iniciando con el valor π/2=0.393.

i

xi g(xi) Abs(f(xi))

0 π/2=0.393 0.308 0.254

1 0.30796 0.31765 0.02907

2 0.31765 0.31666 0.00298

3 0.31666 0.31676 0.00031

4 0.31676 0.31675 0.00003

La aproximación a la raíz es r =0.31675. Como se observó para asegurar la convergencia hay que considerar un valor cercano a la raíz y seleccionar adecuadamente la expresión de recurrencia.

...