Analisis Vectorial

1.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Suponga que se dan los vectores A1, A2 …, An y los escalares a1, a2, …, an. Entonces podemos multiplicar los vectores

por los escalares correspondientes y luego sumar los productos correspondientes para formar el vector

B ¼ a1A1 þ a2A2 þ  þanAn

Dicho vector B se denomina combinación lineal de los vectores A1, A2, …, An.

Se aplica la dei nición siguiente:

definición Los vectores A1, A2, …, An son linealmente dependientes si existen escalares a1, a2, …, an,

distintos de cero, tales que

a1A1 þ a2A2 þ  þanAn ¼ 0

En caso contrario, los vectores son linealmente independientes.

La dei nición anterior puede replantearse como sigue. Considere la ecuación vectorial

x1A1 þ x2A2 þ  þxnAn ¼ 0

donde x1, x2, …, xn son escalares desconocidos. Esta ecuación siempre tiene la solución cero: x1 5 0, x2 5 0, …,

xn 5 0. Si ésta es la única solución, los vectores son linealmente independientes. Si hay una solución con algún valor

xj Þ 0, entonces los vectores son linealmente dependientes.

Suponga que A no es el vector nulo. Entonces A, en sí mismo, es linealmente independiente, ya que

mA 5 0 y A Þ 0, implica que m 5 0

Se cumple la proposición siguiente.

proposición 1.4: Dos o más vectores son linealmente dependientes si y sólo si uno de ellos es una combinación

lineal de los otros.

corolario 1.5: Los vectores A y B son linealmente dependientes si y sólo si uno es múltiplo del otro.

EJEMPLO 1.3

a) Los vectores unitarios i, j y k, son linealmente independientes, ya que ninguno de ellos es una combinación lineal de

los otros dos.

b) Suponga que aA 1 bB 1 cC 5 a9A 1 b9B 1 c9C, donde A, B y C son linealmente independientes. Entonces a 5 a9,

b 5 b9, c 5 c9.

1.6 CAMPO ESCALAR

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región D en el espacio le corresponde un número (escalar) f(x, y, z). Entonces

f se denomina función escalar de posición, y decimos que se ha dei nido un campo escalar f sobre D.

EJEMPLO 1.4

a) La temperatura en cualquier punto dentro o sobre la superi cie de la Tierra en un momento determinado, dei ne un

campo escalar.

b) La función f(x, y, z) 5 x3y 2 z2 dei ne un campo escalar. Considere el punto P(2, 3, 1). Entonces

f(P) 5 8(3) 2 1 5 23.

Un campo escalar f que es independiente del tiempo se llama campo escalar estacionario o de estado estable.

1.7 CAMPO VECTORIAL

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región D en el espacio, le corresponde un vector V(x, y, z). Entonces V se

llama función vectorial de posición, y decimos que se ha dei nido un campo vectorial V sobre D.

1.7 CAMPO VECTORIAL 5

6 CAPÍTULO 1 VECTORES

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