Automatas, Grpos Y Anillos

GRUPO

El concepto de grupo apareció inicialmente como grupo de transformaciones de un conjunto. Sin embargo, al estudiar estos grupos de transformaciones se vio que muchas de sus propiedades eran independientes del hecho de que actuaran sobre un conjunto, y resultaban consecuencias de ciertos axiomas básicos.

Definición

Un grupo (G, *) es un conjunto G provisto de una operación *: G × G → G que verifica:

Asociatividad: para todo g_1, g_2,g_3 ∈ G:

(g_1*g_2)* g_3 = g_1*(g_2*g_3)

Elemento neutro: existe e ϵ G tal que:

E*g = g*e = g ∀ g ∈ G

Inverso: ∀ g ∈ G, ∃ g’ ∈ tal que:

g*g’ = g’*g = e

Si además para todo par g, h ∈ G se verifica g*h = h*g entonces el grupo se llama abeliano o conmutativo. Al cardinal del conjunto G se lo llamara orden de G y se le denotará |G|. Un grupo G se dirá finito si |G| <∞, se dirá infinito en otro caso.

MONOIDES

La estructura de monoide es una generalización de la estructura de grupo, en donde no se pide la existencia de inverso, y según el contexto, a veces se asume la existencia de elemento neutro, y a veces no.

Definición:

Un monoide (M, *) es un conjunto M provisto de una operación *: M x M → M que es asociativa, es decir, que verifica m*(n*l)= (m*n)*l, para toda terna de elementos m, n, l ∈ M tal que e*m=m*e ∀m ∈ M, entonces M se dirá un monoide con elemento neutro.

A partir de la definición, es claro que todo grupo es automáticamente un monoide. El ejemplo clásico de monoide (que no es grupo) es el de los números naturales o agregándole el elemento neutro.

SUBGRUPOS, SUBGRUPOS NORMALES

En general, dado un conjunto G, uno puede obtener toda una familia de otros conjuntos simplemente mirando los subconjuntos de G, si además G tiene estructura de grupo, uno se puede preguntar cómo obtener “gratis” a partir de G, una familia de grupos de manera análoga a la situación conjuntista.

Definición:

Dado un grupo (G,*), un subgrupo de G es un subconjunto de H⊆G tal que (H, |HxH┤ es un grupo, o en forma equivalente:

* Es cerrado en H, i.e. ∀h_1,h_2 ∈H,h_1* h_2∈H

e∈H

∀h ∈H,h^(-1) ∈H

GRUPOS CICLICOS

Sea (G, ∙) un grupo, y a ∈G un elemento de G. Si m ∈ Z se define:

a^m={█(e_G@a@(inductivamente) a^(m-1)∙a @(a^(-1) )^(-m) )■(si m=0@si m=1@si m>1@si m<1)┤

Definición:

Un grupo (G, ∙) se dice cíclico si existe un elemento a ∈G tal que ∀b ∈G, ∃m ∈ Z con a^m=b. En otras palabras, G es cíclico si existe un a ∈G con 〈a〉=G. Un tal elemento se dirá un generador de G.

Colorario:

Sea G un grupo finito.

El orden de cualquier subgrafo de G divide al orden de G.

Sea H⊲G, entoces |G⁄H|=|G|/|H|

Sea a ∈G, se denotara 〈a〉 al subgrafo de G dado por el conjunto {a^n }_(n∈Z) (verificar que es un subgrupo, para la definicion formal de a^n con n ∈ Z) y se denotara |a|≔|〈a〉|. Entonces para un grupo finito, |a| es un numero que divide a |G|.

Sea G finito, para todo x ∈G, x^|G| =e_G.

Si a ∈ Z y p es un numero primo entonces a^p≡a(p).

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