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Sistema de Ecuaciones

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Sistema General

La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:

(1)

donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas

Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

• Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:

• Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .

• Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman unavariedad continua, .

• Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .

Sistema lineal general

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

(2)

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.

Ejemplos:

• Un sistema lineal incompatible es , ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.

• Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.

• Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es cuya solución única es y .

Existencia de soluciones

El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:

es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1). En ese caso existirá una función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:

Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.

En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso .

Numero de Soluciones

En un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado la solución es siempre única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente independientes tienen como mucho nm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bézout:

Dos curvas del plano proyectivo complejo , de grados n y m sin componentes comunes se cortan exactamente en mn puntos contados con multiplicidad.

Métodos de Resolución

Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no lineales el problema es técnicamente más difícil.

Métodos analíticos

Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones

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