Colaborativo Control

El sistema de control de un robot tiene la siguiente representación en el espacio de estados

X ̇=[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)]X+[■(1@1@1)]U

Y=[■(1&2&-1)]X

Determinar su controlabilidad y observabilidad de forma manual y paso a paso. Luego, comprobar los cálculos realizados utilizando Matlab. Justificar los resultados

Su controlabilidad

En este caso en particular se evidencia una matriz en forma canónica diagonal de la forma 3*3 de la sig. Manera

X ̇(s)=[■(-B&0&0@0&-C&0@0&0&-D)]X(s)+[■(1@1@1)]U(s)

Y(s)=[■(K1&K2&K3)]

Remplazando se tiene

X ̇(s)=[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)]X(s)+[■(1@1@1)]U(s)

Y(s)=[■(1&2&-1)]

Entonces se conoce a la matriz Mc como la matriz de controlabilidad del sistema, donde n indica el orden del mismo.

Mc=[■(B&AB&A^2 B)]

Luego, para que todos los estados del sistema puedan ser controlados, se debe satisfacer que dicha matriz de controlabilidad Mc sea de rango n. donde se tiene

A=[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)] B=[■(1@1@1)]

Aplicamos A(b). Esto implica el siguiente procedimiento:

Se multiplica cada elemento de la primera fila de la matriz A por el primer elemento de la matriz B y a continuación sumar estos productos. Repetir el proceso para cada fila.

AB=[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)][■(1@1@1)]⟹AB=[■(-1(1)+&0(1)+&0(1)@0(1) +&-3(1)+&0(1)@0(1) +&0(1)+&-5(1))]⟹AB=[■(-1@-3@-5)]

Aplicamos A^2 B.

A^2 B=[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)]*[■(-1&0&0@0&-3&0@0&0&-5)]*[■(1@1@1)]⇒

A^2 B=[■((-1)^2 (1)+&(0)^2 (1)+&(0)^2 (1)@(0)^2 (1) +&(-3)^2 (1)+&(0)^2 (1)@(0)^2 (1) +&(0)^2 (1)+&(-5)^2 (1) )]⇒

A^2 B=[■(1+&0+&0@0 +&9+&0@0 +&0+&25)]=[■(1@9@25)]

Entonces la matriz de controlabilidad, nos queda:

Mc=[■(1&-1&1@1&-3&9@1&-5&25)]

Hallamos el determinante de la Mc

det=[■(1&-1&1@1&-3&9@1&-5&25)]=-16

El determinante= -16

Rango= n= 3

El determinante da diferente de cero y el rango es 3 igual al rango de la matriz A. Lo que significa que el sistema es controlable.

Comprobamos pro medio de Scilab

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