Controlador PID de Posición de un motor CD

CONTROL PID DE POSICION

A consecuencia del controlador PD de posicion de un motor CD, el cual no es robusto a perturbaciones, lo que quiere decir es que no elimina o absorbe dichas perturbaciones, por lo que se tuvo que agregar un elemento que lo elimine. Se encontro que la solucion a dicho problema, se resolvia agregando una accion integral al controlador PD.

Ecuacion del controlador PD:

 [pic 1]

Para el caso del controlador PID, ya con la accion integral agregada, quedaria:

 [pic 2]

Transformando la ecuacion del voltaje  a Laplace, quedaria:[pic 3]

[pic 4]

Factorizando E(s), quedaria:

[pic 5]

Como sabemos, el E(s) es el error, por lo que ya conocemos a que equiivale:

[pic 6]

Ahora sustituimos en la formula del voltaje, el equivalente del error:

[pic 7]

Ahora tenemos que la ecuacion de la posicion es:

[pic 8]

En el siguiente paso se sustituye VI(s) en la formula anterior:

[pic 9]

El siguiente paso es despejar de un solo lado de la igualdad la posicion  :[pic 10]

[pic 11]

Ahora pasaremos lo que corresponda a de un solo lado de la igualdad:[pic 12]

[pic 13]

Se factorizara :[pic 14]

[pic 15]

Ahora pondremos todo con el mismo denominador:

[pic 16]

Ya que tenemos el mismo denominador, simplemente se hace 1:

[pic 17]

Ahora terminamos de despejar :[pic 18]

[pic 19]

Simplificamos y eliminamos la s que divide a KKi, multiplicando por 1:

[pic 20]

Unimos terminos semejantes:

[pic 21]

Se obtiene la ecuacion final de la posicion con el controlado PID:

[pic 22]

Ahora utilizaremos una herramienta para saber si nuestro sistema sera capaz de eliminar las perturbaciones que se presenten, llamada “Teorema del valor final”, el cual comprende la siguiente formula:

[pic 23]

Aplicando este teorema en la planta quedaria:

[pic 24]

Donde sabemos que  ya que se trata de un escalon, sustituyendo en la formula quedaria:[pic 25]

[pic 26]

Eliminando ambas “s” y evaluando las s’s restantes en 0, quedaria:

[pic 27]

Asi que el limite para la planta cuando s tiende a 0, es A, lo que significa que la planta del motor CD si llega a su posicion deseada.

Ahora comprobaremos si la perturbacion generara alteraciones en mi sistema, utilizando el mismo Teorema del valor final, ahora aplicado en la perturbacion:

[pic 28]

Sabiendo que  y sabiendo que se trata de un escalon tambien. Sustituimos en la formula:[pic 29]

[pic 30]

Ambas s’s se hacen 1, por lo cual desaparecen de la ecuacion:

[pic 31]

Ahora evaluaremos s con el valor 0 en la ecuacion, y quedaria:

[pic 32]

Al ser igual a 0, esto quiere decir que nuestro sistema nuevo si elimina una perturbacion del sistema, no afectando la posicion en t = ∞.

Ahora comprobaremos los datos anteriores en MATLAB.

Tenemos que la planta mas la perturbacion en el sistema quedaria de la siguiente manera:

[pic 33]

Ahora si le agregamos el controlador PD quedaria asi:

[pic 34]

Ahora agregaremos lo que nos dice el control PID, la accion integradora, que se muestra a continuacion:

[pic 35]

Ahora observamos la grafica, para esto agregaremos dos perturbaciones con la misma magnitud en diferentes tiempos, ambas restandose para que se eliminen entre ellas y poder tener una mejor visualizacion del efecto que causa dicha perturbacion.

[pic 36]

[pic 37][pic 38]

Ahora obtuvimos la siguiente grafica, utilizando los siguientes valores de los parametros que manejamos en el sistema.

K=10, a=2, kp=4.8, kd=1, kl=5, ki=13, A = 5 (Step1)          posición deseada .[pic 40][pic 39]

[pic 41]

Asi queda la grafica de la posición. Podemos observar que en el segundo 10, se tiene una perturbacion la cual el sistema tarda menos de 2 segundos en corregirlo, pasa lo mismo en el segundo 14, ocurre otra perturbacion la cual el sistema una vez mas lo corrige en menos de 2 segundos.

El valor de kp es muy importante ya que es el que le da la velocidad al sistema, de igual manera es el que nos indicara que voltaje entrara al mismo. Suponiendo que el motor CD es de 24V maximo, tenemos que se determina de esta manera:

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