EL ANALISIS DE FOURIER

INTRODUCCION

Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal.

Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y

coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación. Enfoque concreto y matemático de la materia para impartir la teoría del análisis de Fourier y las ondas, al mismo tiempo que mantiene un equilibrio entre la teoría y las aplicaciones. En algunos casos, expone diferentes pruebas para cada proposición y así se da oportunidad a que los alumnos comparen diferentes métodos.

El análisis de Fourier

A principios del siglo XIX, el matemático francés Jean-Baptiste Fourier probó que cualquier función periódica de comportamiento razonable, g(t) con un periodo T, se puede construir sumando una cantidad (posiblemente infinita) de senos y cosenos:

donde f = 1/T es la frecuencia fundamental, An y An son las amplitudes de seno y coseno de los n-ésimos (términos) armónicos y c es una constante. Tal descomposición se conoce como serie de Fourier. A partir de ella, es posible reconstruir la función, es decir, si se conoce el periodo T y se dan las amplitudes, la función original del tiempo puede encontrarse realizando las sumas que se muestran en la ecuación (2-1).

Una señal de datos que tenga una duración finita (la cual todas poseen) se puede manejar con sólo imaginar que el patrón se repite una y otra vez por siempre (es decir, el intervalo de T a 2T es el mismo que de 0 a T, etcétera). Las amplitudes An se pueden calcular para cualquier g(t) dada multiplicando ambos lados de la ecuación (2-1) por sen(2πkft) y después integrando de 0 a T. Puesto que

sólo un término de la sumatoria perdura: An. La sumatoria de Bn desaparece por completo. De manera similar, al multiplicar la ecuación (2-1) por cos(2πkft) e integrando entre 0 y T, podemos derivar bn. Con sólo integrar ambos lados de la ecuación como está, podemos encontrar c. Los resultados de realizar estas operaciones son los siguientes:

El análisis de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de sistemas. Este es el resultado de que los senosoidales son eigenfunciones de sistemas lineales variantes en el tiempo (LTI). Si pasamos cualquier senosoidal a través de un sistema LTI, obtenemos la versión escalada de cualquier sistema senosoidal como salida. Entonces, ya que el análisis de Fourier nos permite redefinir las señales en terminos de senosoidales, todo lo que tenemos que hacer es determinar el efecto que cualquier sistema tiene en todos los senosoidales posibles (su función de transferencia) así tendremos un entendimiento completo del sistema. Así mismo, ya que podemos definir

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