EL LIMITE DE FERMAT

Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente.

Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque la intuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería una noción abstracta"(Britton, 1968, 323).

Definición

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:

Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación , donde es una función continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto dado de la curva.

Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos y de la curva.

La pendiente de esta secante, denotada está dada por:

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como es ese ángulo para la recta secante, entonces:

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en .

Sea PT dicha recta.

Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación de la recta secante se aproxima a la inclinación de de la recta tangente, lo que puede escribirse como

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir,

Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa tiende hacia por lo que puede escribirse como

Luego

Si denotamos por la pendiente de la recta tangente a la curva en , entonces

Definición

La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuación en el punto , denotada es igual al , siempre que este límite exista.

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