El proceso péndulo invertido consiste de un péndulo montado sobre un carro que se desplaza en forma horizontal

Modelo del Proceso Péndulo Invertido

El proceso péndulo invertido consiste de un péndulo montado sobre un carro que se desplaza en forma horizontal. Este carro está impulsado por un servomotor D.C. a través de un sistema de poleas, tal como se muestra en la  Figura 1. Para mayor claridad el proceso se  a separado en  dos subsistemas: el subsistema conformado por el carro y el péndulo,  y el subsistema conformado por el motor y el sistema de poleas

[pic 1]

Figura 1. Proceso péndulo invertido

         Modelo del Subsistema Carro – Péndulo

        El subsistema carro-pendulo se ilustra en la Figura 2 y esta conformado por un carro y         varilla. De la Figura 2 podemos observar que los centros de gravedad de la varilla y de la   esfera son :

[pic 2]

Figura 2. Subsistema carro – péndulo

[pic 3]

Para modelar el sistema  mecanico empleamos la segunda Ley de Newton  para los movimientos lineal y rotacional. Para  el movimiento lineal , dicha ley establece que para  un sistema de  N partículas :

[pic 4]

Donde mi es la masa de la i-esima particula ,  ri  es la posicion del centro  de masa   de la i-esima particula y Fj es l j-esima fuerza aplicada al sistema de particulas. Aplicando la anterior ecuacion a nuestro sistma ( en la direccion  z) obtenemos :

[pic 5]

Luego , reemplazando ze y zv en la ecuacion anterior , obtenemos :

[pic 6]

Y desarrollando las derivadas  resulta:

[pic 7]

Para completar el modelo, utilizamos la segunda ley de newton aplicada al movimiento rotatorio alrededor del punto  P del carro. Esta ley establece que para un sistema de N partículas  en movimiento rotacional respecto a un sistema de referencia inercial, sometidas a M torques externos perpendiculares al plano de giro , se cumple que :

        [pic 8]

Donde Tj es el j-esimo torque externo,  Ji es el momento  de inercia de la i-esima partícula respecto al punto P y  θi es el ángulo  recorrido  por la i-esima partícula alrededor del punto P. Para aplicar esta Ley al movimiento rotatorio de la varilla alrededor del punto P utilizamos la tercera Ley de Newton , la cual nos permite remplazar el efecto de la aceleración del sistema  de referencia Z’ – Y’ por una fuerza mi *z  aplicada en el centro de gravedad de las particulas  i de  dicho  sistema , pero en dirección opuesta a la aceleración  empleando

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