Cálculo de Matriz de Péndulo Invertido Simple

Péndulo Invertido

Para el análisis de un péndulo invertido se puede hacer el planteo de ecuaciones para obtener el modelo dividiendo el problema en 2 partes. Por un lado se va a analizar el diagrama de cuerpo libre del péndulo, y por el otro el del carro.

Para el análisis se considerarán los siguientes identidades físicas:

     [pic 1]

Las ecuaciones 1 y 2 derivan del la misma ley, y dicen que la sumatoria de todas las fuerzas proyectadas sobre un vector o eje es igual a la masa por la aceleración resultante en el centro de gravedad.

La 3er ecuación plantea que las sumatoria de todos los momentos alrededor del punto G es igual al momento del inercia del cuerpo por la aceleración angular.

Tomando solo el péndulo:                [pic 2]

Para facilitar el análisis se plantear en ecuaciones separadas la sumatoria de las componentes de fuerza verticales (V) y la sumatoria de las componentes de fuerza horizontales (H).[pic 3]

Se debe tomar en cuenta que la posición horizontal de su centro de gravedad depende de r y[pic 4].

[pic 5] Donde [pic 6]es la aceleración total sobre el centro de gravedad del péndulo.

[pic 7] 

[pic 8]

Aplicando la ecuación 3, sobre el centro de gravedad del péndulo actúan 3 momentos. Uno se debe a H, otro a V y el último a la fricción que produce la articulación (representada por una constante C por la velocidad angular).

[pic 9]

Siendo:

[pic 10]

Reemplazando:

        [pic 11]

[pic 12], donde C es las constante de rozamiento en el eje de rotación del péndulo.

Dado que se obtuvo una ecuación de 2º orden con 2 incógnitas, debería obtener una 2da ecuación para armar el sistema de ecuaciones. Para obtenerla se puede analizar el diagrama de cuerpo libre del carro:                                [pic 13]        

Aplicado la sumatoria de fuerzas:[pic 14] , siendo B constante de rozamiento viscoso sobre la que se mueve el carro.

Si ahora reemplazo H:

[pic 15]

[pic 16]

Ecuaciones de Estado

Variables de estado:[pic 17]                [pic 18]

Por lo tanto:        [pic 19]

Entonces puedo escribir las matrices A y B como:

[pic 20]

Si reemplazo las variables de estado en las ecuaciones obtenidas:

        [pic 21]

        [pic 22]

Definiendo:        [pic 23]

[pic 24]

Despejando:

[pic 25]

A partir de estas ecuaciones puedo obtener 2 ecuaciones donde solo aparezca una derivada de 1er orden en cada una. Entonces, si reemplazamos [pic 26]en la ecuación de[pic 27]obtengo:

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