Estudio Estabilidad Sistema

Estudio de estabilidad del sistema:

H(s) =

En primer lugar, vamos a utilizar el Diagrama de Nyquist.

Sabemos que s=jω. Para ω=0, la función de transferencia vale -1/2. Para ω o s tendiendo a infinito, el sistema tiende a 0. Por tanto, el diagrama tendrá una rama que sale desde -1/2 y llega hasta 0.

Vamos a estudiar el ángulo con el que el diagrama llega al punto 0(frecuencia infinito). Sabemos que cada polo aporta -π/2 rad y cada cero del sistema aporta π/2 rad. Como tenemos 2 polos y un cero, la contribución final será de -π/2 rad.

Otro razonamiento alternativo para calcular la contribución en ángulo es usar el lugar de las raíces. Sabiendo que la aportación en ángulo del cero se anula con la aportación del polo situado en 1.

Para ver si existen cortes con los ejes, vamos a estudiar cuándo se hace 0 la parte real de la función de transferencia y cuándo se hace 0 la parte imaginaria. Obtenemos que la parte imaginaria sólo se hace 0 para ω=0 y para ω tendiendo a infinito, por su parte, la parte real sólo es 0 para ω tendiendo a infinito. Podemos concluir entonces que sólo hay cortes con el eje X, y son los que ya habíamos calculado en el inicio del ejercicio.

Con los datos calculados, estamos en condiciones de dibujar el diagrama de Nyquist . Para comprobar que nuestras cuentas están bien dibujamos el diagrama usando Simulink, con el comando "Nyquist":

Una vez tenemos el diagrama, vamos a calcular la estabilidad del sistema.

Sabemos que el número de polos en el semiplano derecho del sistema en lazo abierto es 1(P=1). Sabemos que N=Z-P, siendo N el número de giros completos de H(s) en torno al origen del plano H(s), considerando positivo el sentido horario. Para que el sistema sea estable, Z debe ser 0.

Por tanto, en nuestro caso N debe ser -1, es decir una vuelta en sentido antihorario. Entonces, -1/k debe estar entre -0.5 y 0.

-0.5<-1/k<0

Despejando, obtenemos que k debe ser > que 2 para que el sistema estable.

Para comprobar nuestros cálculos de estabilidad, vamos a ayudarnos del lugar de las raíces. Dibujamos el lugar de las raíces mediante el comando "rlocus" de MATLAB:

Ya sabíamos que el sistema consta de 2 polos y un cero, por tanto, el lugar de las raíces tiene 2 ramas. Una de ellas, cruza al semiplano derecho. Si nos desplazamos sobre el gráfico con el cursor de MATLAB, efectivamente comprobamos que la k límite de estabilidad es 2(ganancia para que el lugar de las raíces cruce al semiplano derecho).

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