INTERCAMBIO DE RADIACIÓN, SUPERFICIES GRISES

INTERCAMBIO DE RADIACIÓN, SUPERFICIES GRISES

Las temperaturas de las superficies superior e inferior de un tronco cono, de la figura, se mantienen a 600ºK y 1200ºK, respectivamente, mientras que la superficie A2 está perfectamente aislada (Q ̇_2=0). Si todas las superficies son grises y difusas, determine el intercambio neto por radiación entre las superficies superior e inferior, es decir, A3 y A1.

ESQUEMA:

Hacer un diagrama de flujo (D.F.), donde se indique la secuencia de solución para resolver el problema.

Hacer el análisis de radiación, (las ecuaciones de la radiación), del recinto cerrado con superficies grises.

Hacer el programa en MATLAB-1, para resolver el problema.

Si q_1=3×〖10〗^5 W⁄m^2 y ε_3=1, determine la temperatura de la superficie (1), los demás parámetros, con los anteriores. Hacer el programa MATLAB-2, para este caso

DIAGRAMA DE FLUJO:

Datos

Parte a)

T_1=〖1200〗^o K

ε_1=0.6

Q ̇_2=0

ε_2=0.8

T_3=〖600〗^o K

ε_3=0.9

r_3=2m

r_1=3m

L=4m

Parte d)

q_1=3×〖10〗^5 W⁄m^2

ε_3=1

HIPÓTESIS

Condiciones de estado estable.

Aislamiento térmico cuasi perfecto. (Q ̇_2=2).

Temperaturas constantes.

Superficies grises y difusas.

Propiedades físicas constantes.

Geometría de de las superficies conocidas

SOLUCIÓN

Calculamos todas las áreas:

Calculo de las áreas de cada superficie:

A_1=πr_1^2=π(3m)^2=28.274m^2

A_3=πr_3^2=π(2m)^2=12.566m^2

A_2=A_(lateral del cono)=πg(r_1+r_3 ) donde g : generatriz

g=√(4^2+1^2 )

g=4.123m

A_2=π(4.123m)(5m)

A_2=64.764m^2

Realizamos los cálculos de todos los factores de forma

El factor de forma entre dos superficies cualesquiera esta dado por:

F_(1-2)=1/A_1 ∫_(A_1)▒∫_(A_2)▒(cos⁡〖θ_1 〗 cos⁡〖θ_2 〗 dA_1 dA_2)/(πr^2 )

Pero para este caso (problema) no es necesario la solución de dichas integrales ya que contamos con unas relaciones que nos facilitaran la solución de los factores de forma ya que son configuraciones geométricas conocidas (discos paralelos coaxiales)

Calculo de relaciones

R_1=r_1/L=0.75 S=1+(1+R_3^2)/(R_1^2 )=3.222

R_3=r_3/L=0.5

Para la superficie (1):

F_(1-3)=1/2 {S-[S^2-4(r_3/r_1 )^2 ]^(1⁄2) }=1/2 {3.222-[〖3.222〗^2-4(2/3)^2 ]^(1⁄2) }

F_(1-3)=0.14441=14.441%

Por relación de reciprocidad: A_i F_(i-j)=A_j F_(j-i) obtenemos F_(3-1)

F_(3-1)=(A_1 F_(1-3))/A_3

F_(3-1)=0.32493=32.493%

Además:

1=F_(1-1)+F_(1-2)+F_(1-3)=0.14441+F_(1-2)

F_(1-2)=0.85559=85.559%

Por reciprocidad: F_(2-1)=0.37352=37.352%

Para la superficie (3):

1=F_(3-1)+F_(3-2)+F_(3-3)=0.32493+F_(3-2)

F_(3-2)=0.67507=67.507%

Por relación de reciprocidad:

F_(2-3)=(A_3 F_(3-2))/A_2

F_(2-3)=0.13098=13.098%

Para la superficie (2):

1=F_(2-1)+F_(2-2)+F_(2-3)=0.37352+F_(2-2)+0.13098

F_(2-2)=0.4955=49.55%

Transferencia neta de calor por radiación hacia una superficie o desde una superficie

Q ̇_i=(E_(b_i )-J_i)/((1-ε_i)/(ε_i A_i )) [W] ó q ̇_i=(E_(b_i )-J_i)/((1-ε_i)/ε_i ) [W⁄m^2 ]

También q ̇_i=J_i-∑_(j=1)^N▒〖J_j.F_(i-j) 〗 [W⁄m^2 ]

Para las superficies (1), (2) y (3)

q ̇_(1_NETA )=ε_1/(1-ε_1 ) (E_(b_1 )-J_1 )=J_1-J_1 F_(1-1)-J_2 F_(1-2)-J_3 F_(1-3)

q ̇_(2_NETA )=ε_2/(1-ε_2 ) (E_(b_2 )-J_2 )=J_2-J_1 F_(2-1)-J_2 F_(2-2)-J_3 F_(2-3)

q ̇_(3_NETA )=ε_3/(1-ε_3 ) (E_(b_3 )-J_3 )=J_3-J_1 F_(3-1)-J_2 F_(3-2)-J_3 F_(3-3)

Acomodando cada ecuación tenemos:

Superficie (1):

(1-F_(1-1)+ε_1/(1-ε_1 )) J_1+(-F_(1-2) ) J_2+(〖-F〗_(1-3) ) J_3=ε_1/(1-ε_1 ) E_(b_1 )

Superficie (2)

(-F_(2-1) ) J_1+(1-F_(2-2) ) J_2+(-F_(2-3) ) J_3=0

Superficie (3)

(-F_(3-1) ) J_1+(-F_(3-2) ) J_2+(1-F_(3-3)+ε_3/(1-ε_3 )) J_3=ε_3/(1-ε_3 ) E_(b_3 )

Simplificando y reordenando

(1+ε_1/(1-ε_1 )) J_1+(-F_(1-2) ) J_2+(〖-F〗_(1-3) ) J_3=ε_1/(1-ε_1 ) E_(b_1 )

(-F_(2-1) ) J_1+(1-F_(2-2) ) J_2+(-F_(2-3) ) J_3 =0

(-F_(3-1) ) J_1+(-F_(3-2) ) J_2+(1+ε_3/(1-ε_3 )) J_3=ε_3/(1-ε_3 ) E_(b_3 )

Calculamos la energía de radiación emitida E_(b_1 )y E_(b_3 )

E_(b_1 )=σT_1^4=(5.67×〖10〗^(-8) W⁄(m^2.K^4 )) 〖(1200°K)〗^4

E_(b_1 )=117 573.12 W⁄m^2

E_(b_3 )=σT_3^4=(5.67×〖10〗^(-8) W⁄(m^2.K^4 )) 〖(600°K)〗^4

E_(b_3 )=7348.32 W⁄m^2

Reemplazando (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8) y (9) en (α)

2.5J_1+(-0.85559) J_2+(-0.14441) J_3=293 932.8

(-0.37352) J_1+(0.5045) J_2+(-0.13098) J_3 =0

(-0.32493) J_1+(-0.67507) J_2+10J_3=66134.88

J_1

J_2

J_3

Tenemos que resolver dicha matriz para obtener los valores de radiosidad para cada superficie

2.5 -0.85559 -0.14441

-0.37352 0.5045 -0.13098

-0.32493 -0.67507 10

176359.68

0

66134.88

J_1=97.412 KW⁄m^2

J_2=75.993 KW⁄m^2

J_3=14.909 KW⁄m^2

El intercambio neto de

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