Ingenieria

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como

geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y

para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las

aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se

encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de

volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas

están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,

centros de masa y momentos de inercia para una región

bidimensional.

3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco

de la integral doble de una función f positiva en una región

bidimensional D, ( ) D

∫∫ f x, y dA , como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,

si se considera que f ( x, y) =1, entonces la integral anterior queda

como:

( ) D D

∫∫ f x, y dA = ∫∫ dA (III.1)

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene

que:

0 1 1

n m

D P ij i j

dA Lim A

→ = =

∫∫ = ΣΣΔ (III.2)

Recuerde que la integral

doble ( ) D

∫∫ f x, y dA,

también puede escribirse

como

( ) 0 1 1

n m

* *

P i j ij i j

Lim f x , y A

→ = =

ΣΣ Δ

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donde ΔAij es el área del rectángulo genérico denotado ij D , el

cual puede observarse en la figura 3.1

D

a = x0

y

x xi-1 xi xn= b

c = y0

d = ym

yj-1

yj

yj

xi (xi

*,yj

*)

Dij

Figura 3.1

Región D dividida en subrectángulos ij D

En otras palabras, la integral

D

∫∫ dA representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D

y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas

características, el volumen se obtiene como el producto del área

de la base y la altura del mismo.

A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una

región plana.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Sea D una región bidimensional

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