Integrales En El Calculo

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

1. Cálculo de áreas planas

Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. Ejemplo 1 : a) Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 2 , el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 . b) Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 3 − 3x 2 − x + 3 y el eje OX en el intervalo [1,3] . c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX , en el intervalo [0,2π ] . Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos el siguiente resultado : Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en [a, b] y se verifica que g( x ) ≤ f ( x ) ∀x ∈[a, b] , entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas verticales x = a y x = b , es : A = Observaciones: a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g( x ) ≤ f ( x ) . b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje OX . c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g( x ) ≤ f ( x ) y otras veces que f ( x ) ≤ g( x ) ,

∫ [ f ( x ) − g( x )] dx

b a

s

entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b] , viene dado por la fórmula: A =

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