LIBRO FISICA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EN FORMA INDEPENDIENTE

Esta lección se dedicó al análisis de las vibraciones forzadas de un sistema mecánico.

Estas vibraciones ocurren cuando el sistema se somete a una fuerza periódica P

(figura 19.7), o cuando está conectado elásticamente a un soporte que tiene un movimiento

alternante (figura 19.8). En el primer caso, el movimiento del sistema se

define mediante la ecuación diferencial

mx¨  kx
Pm sen f t (19.30)

donde el miembro del lado derecho representa la magnitud de la fuerza P en un instante

determinado. En el segundo caso, el movimiento se define mediante la ecuación

diferencial

mx¨  kx
k
m sen f t (19.31)

donde el miembro del lado derecho es el producto de la constante de resorte k y el desplazamiento

del soporte en un instante dado. El interés se concentrará sólo en el movimiento

de estado estable del sistema, el cual se define mediante una solución particular

de estas ecuaciones, de la forma

xpart
xm sen f t (19.32)

1. Si la vibración forzada resulta de una fuerza periódica P, de amplitud Pm

y frecuencia circular f , la amplitud de la vibración es

xm


1 

P

(

m





f

k

n)2  (19.33)

donde n es la frecuencia circular natural del sistema n

km, y k es la constante

de resorte. Advierta que la frecuencia circular de la vibración es f y que la

amplitud xm no depende de las condiciones iniciales. Para f
n, el denominador

en la ecuación (19.33) es cero y xm es infinita (figura 19.9); se dice que la fuerza aplicada

P está en resonancia con el sistema. Además, para f  n, xm es positiva y las

vibraciones están en fase con P, mientras que, para f n, xm es negativa y la vibración

está fuera de fase.

a) En los problemas que siguen se pedirá determinar uno de los parámetros

de la ecuación (19.33) cuando se conocen los demás. Sugerimos que al resolver

este problema se tenga siempre enfrente la figura 19.9. Por ejemplo, si se pide determinar

la frecuencia a la cual la amplitud de una vibración forzada tiene un valor

determinado, pero no se sabe si la vibración está en o fuera de fase con respecto a

la fuerza aplicada, en la figura 19.9 se observa que es posible que existan dos frecuencias

que satisfagan este requerimiento, una que corresponde al valor positivo de

xm y a una vibración en fase con la fuerza aplicada, y la otra correspondiente a un

valor negativo de xm y a una vibración fuera de fase con la fuerza aplicada.

(continúa)

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b) Una vez que se ha obtenido la amplitud xm del movimiento de una componente

del sistema con

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