Matrices.

Matrices es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Tipos de matices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz anti simétrica o hemisimétrica

Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A•At = I.

Igualdad de una matiz

Para que dos matrices sean iguales, primero tienen que cumplir el tener la misma dimensión

y luego serán iguales cuando tengan iguales los elementos que ocupen la misma

posición dentro de la matriz.

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

La matriz sum

a se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A= (aj) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k aij)

Propiedades

a • (b • A) = (a • b) • A A Mmxn, a, b

a • (A + B) = a • A + a • BA,B Mmxn , a

(a + b) • A = a • A + b • A A Mmxn, a, b

1 • A = A A Mmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro:

A • I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A • (B + C) = A • B + A • C

Suma de matrices

Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:

A+B=(aij+bij).

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene

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